Bài tập 3.29 trang 151 SBT Hình học 11

a) Gọi A’ là giao điểm của AH và BC. Ta cần chứng minh ba điểm S, K, A’ thẳng hàng.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AA′ ⊥ BC. Mặt khác theo giả thiết ta có: SA ⊥ (ABC), do đó SA ⊥ BC.

Từ đó ta suy ra BC ⊥ (SAA′) và BC ⊥ SA′. Vậy SA’ là đường cao của tam giác SBC nên SA’ là phải đi qua trực tâm K. Vậy ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy.

b) Vì K là trực tâm của tam giác SBC nên BK ⊥ SC (1)

Mặt khác ta có BH ⊥ AC vì H là trực tâm của tam giác ABC và BH ⊥ SA vì SA ⊥ (ABC).

Do đó BH ⊥ (ABC) nên BH ⊥ SC (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra SC ⊥ (BHK). Vì mặt phẳng (SAC) chứa SC mà SC ⊥ (BHK) nên ta có (SAC) ⊥ (BHK).

c) Ta có

\(\left. \begin{array}{l}
BC \bot \left( {SAA'} \right),BC \bot HK\\
SC \bot \left( {BHK} \right),SC \bot HK
\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)\)

Mặt phẳng (BHK) chứa HK mà HK ⊥ (SBC) nên (BHK) ⊥ (SBC).

-- Mod Toán 11 HỌC247