YOMEDIA
IN_IMAGE

Bài tập 23 trang 111 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 23 trang 111 SGK Hình học 11 NC

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).

b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC\prime }  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA\prime } ,\\
\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} 
\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {AC\prime } .\overrightarrow {BD}  \)

\(= \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA\prime } } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

Tương tự: \\overrightarrow {AC\prime } .\overrightarrow {BA'}  = 0\)

Vậy AC’ ⊥ (A’BD)

Do (A’BD) // (B’CD’) nên AC’ ⊥ (B’CD’)

b) Gọi M là trung điểm của BC thì MA = MC’ (vì cùng bằng \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) ) nên M thuộc mặt phẳng trung trực (α) của AC’

Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B).

Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp(α) là MNPQRS. Đây là lục giác đều cạnh bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\.

Từ đó ta tính được diện tích của thiết diện là: 

\(S = 6.{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{a^2}.\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 23 trang 111 SGK Hình học 11 NC HAY thì click chia sẻ 
ADMICRO

 

YOMEDIA
ON