Bài tập 3.32 trang 152 SBT Hình học 11

a) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}
CD \bot AD\\
CD \bot SA
\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD)

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì DI // CB và DI ⊥ CA nên AC ⊥ CB. Do đó CB ⊥ (SAC).

Vậy (SBC) ⊥ (SAC).

b) Ta có \(\varphi  = \widehat {SCA} \Rightarrow \tan \varphi  = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

c) \(\left. \begin{array}{l}
DI \bot AC\\
DI \bot SA
\end{array} \right\} \Rightarrow DI \bot \left( {SAC} \right)\)

Vậy (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của (α) với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng \({a\sqrt 2 }\).

Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có SH ⊥ DI và \(SH = \frac{{DI\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Tam giác SDI có diện tích:

\({S_{\Delta SDI}} = \frac{1}{2}SH.DI = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.a\sqrt 2  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247