Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 2: Phép tính Lôgarit

Định nghĩa

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để ac = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \({{\log }_{a}}b\), nghĩa là  \(c={{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{a}^{c}}=b\)

 

Tính chất

Với số thực dương a khác 1, số thực dương b, ta có:  1) \({{\log }_{a}}1=0\)  2) \({{\log }_{a}}a\,=1\)  3) \({{\log }_{a}}{{a}^{c}}=c\)  4) \({{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\)

 

Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên

- Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu là \(log b\) hay \(lg b\).  - Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu là \(ln b\).

 

Lôgarit của một tích, một thương

Với ba số thực dương a, m, n và \(a\ne 1\), ta có:  - \({{\log }_{a}}mn={{\log }_{a}}m+{{\log }_{a}}n\)  - \({{\log }_{a}}\left( \frac{m}{n} \right)={{\log }_{a}}m-{{\log }_{a}}n\)

Chú ý:

Với n số thực dương \({{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}}\) thì:

\({{\log }_{a}}\left( {{b}_{1}}.{{b}_{2}}...{{b}_{n}} \right)={{\log }_{a}}{{b}_{1}}+{{\log }_{a}}{{b}_{2}}+...+{{\log }_{a}}{{b}_{n}}(a>0,a\ne 1)\)

 

Lôgarit của một luỹ thừa

Cho \(a > 0,  a \ne 1, b > 0\). Với mọi số thực \( \alpha\), ta có: \({{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha {{\log }_{a}}b\)

 

Đổi cơ số của Lôgarit

Với a, c là hai số thực dương khác 1 và b là số thực dương, ta có: \({{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\)

Nhận xét:

Với a > 0 và \(a\ne 1\), b > 0 và \(b\ne 1\), c > 0, \(\alpha \ne 0\), ta có những công thức sau:

 1) \({{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}c={{\log }_{a}}c\)

 2) \({{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\)

 3) \({{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b\)

 

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit. Cụ thể như sau (lấy kết quả với 4 chữ số ở phần thập phân):

 

 

Chú ý: 

Với máy tính không có phím thì để tính \({{\log }_{5}}3\), ta có thể dùng công thức

đổi cơ số để đưa về cơ số 10 hoặc cơ số e.

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 - {\log _9}10\)

b) \(B = {\log _{36}}2 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3\)

c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right)\)

 

Hướng dẫn giải

a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 - {\log _9}10 = {\log _9}\frac{{15.18}}{{10}} = {\log _9}{3^3} = \frac{1}{2}{\log _3}{3^3} = \frac{3}{2}\)

b) \(B = {\log _{36}}2 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2 + \frac{1}{2}{\log _6}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2.3 = \frac{1}{2}\)

c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right) = - {\log _4}\left( {{{\log }_2}3.{{\log }_3}4} \right)\)

\(= - {\log _4}\left( {{{\log }_2}4} \right) = - \frac{1}{2}{\log _2}2 = - \frac{1}{2}\)

 

Bài 2. Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định):

a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}\)

b) \(B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}\)

 

Hướng dẫn giải

a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}\)

b) \(B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = - {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = - \left( {\frac{{34}}{{15}} - \frac{3}{4}} \right) = - \frac{{91}}{{60}}\)

Học xong bài học này, em sẽ:

- Nhận biết khái niệm lôgarit cơ số a của một số thực dương.

- Giải thích các tính chất của phép tính lôgarit nhờ sử dụng định nghĩa hoặc các tính chất đã biết trước đó.

- Sử dụng tinh chất của phép tính lôgarit trong tính toán các biểu thức số và rút gọn các biểu thức chứa biến.

- Tính giá trị của lôgarit bằng cách sử dụng máy tính cầm tay.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 2 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Điều kiện để \({\log _a}b\) có nghĩa là gì?

  • A. a < 0, b > 0
  • B. 0 < a ≠ 1, b < 0
  • C. 0 < a ≠ 1, b > 0
  • D. 0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1

• Câu 2:

  Cho a > 0; a ≠ 1, b > 0, khi đó nếu \({\log _a}b = N\) thì ta được?

  • A. \({a^b} = N\)
  • B. \({\log _a}N = b\)
  • C. \({b^N} =a\)
  • D. \({a^N} = b\)

• Câu 3:

  Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề bên dưới?

  • A. \({\log _a}1 = 1\)
  • B. \({\log _a}a = a\)
  • C. \({\log _a}1 = 0\)
  • D. \({\log _a}a = 1\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Khởi động trang 34 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 1 trang 34 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 1 trang 34 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 2 trang 35 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 2 trang 35 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 3 trang 35 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 3 trang 35 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 4 trang 36 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 4 trang 36 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 5 trang 36 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 5 trang 37 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 6 trang 37 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 7 trang 38 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 1 trang 38 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 2 trang 38 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 3 trang 38 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 4 trang 38 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 5 trang 38 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 6 trang 38 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 17 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 18 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 19 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 20 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 21 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 22 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 23 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 24 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 25 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 26 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 27 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 28 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 29 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 30 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 31 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 32 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 33 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!