Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

- Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.  - Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng ax = b \((a > 0, a  \ne 1)\).   + Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.   + Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = logab.

Nhận xét: Với \((a > 0, a  \ne 1, b>0)\) thì \({{a}^{f(x)}}=b\Leftrightarrow f\left( x \right)=lo{{g}_{a}}b\).

 

Chú ý:

- Với \((a > 0, a  \ne 1)\) thì \({{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)\)

- Cách giải phương trình mũ như trên thường được gọi là phương pháp đưa về cùng cơ số.

 

- Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.  - Phương trình lôgarit cơ bản có dạng logax = b \((a > 0, a  \ne 1)\).  - Phương trình đó có một nghiệm là \(x = {{a}^{b}}\).

Nhận xét: Với \((a > 0, a  \ne 1)\) thì log, \(lo{{g}_{a}}f(x)=b \Leftrightarrow f(x)={{a}^{b}}\).

 

Khái niệm

- Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.  - Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình mũ có một trong những dạng sau: \({{a}^{x}}>b;{{a}^{x}}0,a\ne 1)\)

 

Cách giải bất phương trình mũ cơ bản

Xét bất phương trình mũ: \({{a}^{x}}>b\) \((a>0,a\ne 1)\).

- Nếu \(b \le 0\), tập nghiệm của bất phương trình đã cho là R (vì \({{a}^{x}}>0 \ge b\), \(\forall x\in R\)).

- Nếu \(b > 0\) thì bất phương trình tương đương với \({{a}^{x}}>{{a}^{lo{{g}_{a}}b}}\)

 + Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là \(x > {lo{{g}_{a}}b}\)

 + Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là 

Nhận xét: Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

 

Khái niệm

- Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.  - Bất phương trình lôgarit cơ bản là bất phương trình lôgarit có một trong những dạng sau: \({{\log }_{a}}x>b;{{\log }_{a}}x0,a\ne 1)\)

 

Cách giải bất phương trình lôgarit cơ bản

Xét bất phương trình \({{\log }_{a}}x>b\) \((a>0,a\ne 1)\). Bất phương trình tương đương với \({{\log }_{a}}x > {{\log }_{a}}{{a}^{b}}\).

- Với \(a > 1\), nghiệm của bất phương trình là \(x > {{a}^{b}}\)

- Với \(0 < a < 1\), nghiệm của bất phương trình là \(0< x < {{a}^{b}}\)

Nhận xét: Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

Bài 1. Giải bất phương trình sau: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5.\)

 

Hướng dẫn giải

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)

\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

 

Bài 2. Giải bất phương trình sau: \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0\).

 

Hướng dẫn giải

\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)

Đặt \(t = {3^x} > 0\).

Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { - 1;1} \right].\)

Học xong bài học này, em sẽ:

- Giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở dạng đơn giản.

- Giải quyết một số vấn đề liên môn hoặc có liên quan đến thực tiễn gắn với phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Tập nghiệm của BPT: \({2^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\) là?

  • A. \((−\frac{2}{3}\);+∞)
  • B. (−∞;0)
  • C. (−∞;\(−\frac{2}{3})\)
  • D. (−∞;\(−\frac{1}{3})\)

• Câu 2:

  Phương trình sau:  \({4^{2x + 5}} = {2^{2 - x}}\) có nghiệm là?

  • A. \(−\frac{8}{5}\)
  • B. 3
  • C. \(\frac{8}{5}\)
  • D. \(\frac{12}{5}\)

• Câu 3:

  Giải phương trình sau: \({\log _4}\left( {x + 1} \right) + {\log _4}\left( {x - 3} \right) = 3\)?

  • A. \(x = 1 \pm 2\sqrt {17} \)
  • B. \(x = 1 + 2\sqrt {17} \)
  • C. x = 33
  • D. x = 5

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Khởi động trang 48 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 1 trang 48 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 1 trang 48 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 2 trang 48 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 2 trang 49 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 3 trang 49 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 3 trang 50 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 4 trang 50 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 4 trang 51 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 5 trang 51 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 5 trang 52 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 6 trang 52 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 6 trang 53 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 7 trang 53 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 8 trang 54 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 1 trang 54 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 2 trang 55 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 3 trang 55 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 4 trang 55 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 53 trang 49 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 54 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 55 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 56 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 57 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 58 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 59 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 60 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 61 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 62 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 63 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 64 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 65 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 66 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 67 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 68 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!