Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 1: Phép tính luỹ thừa với số mũ thực

Định nghĩa

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tuỳ ý khác 0, ta có: \({a}^{-n}={1 \over {a}^{n}}\).

Như vậy, ta đã xác định được a^m, ở đó a là số thực tuỳ ý khác 0 và m là một số nguyên. Trong biểu thức am, ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

Chú ý:

- 0⁰ và \({0}^{-n}\) (n nguyên dương) không có nghĩa.

- Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

 

Định nghĩa

Cho số thực a và số nguyên dương n (n ≥ 2). Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu \({b}^{n}=a\).

Nhận xét:

- Với n lẻ và \(a\in R\): Có duy nhất một căn bậc n của a, kí hiệu là \(\sqrt[n]{a}\).

- Với n chẵn, ta xét ba trường hợp sau:

 + a < 0: Không tồn tại căn bậc n của a;

 + a = 0: Có một căn bậc n của a là số 0;

 + a > 0: Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, kí hiệu giá trị dương là \(\sqrt[n]{a}\), còn giá trị âm là – \(\sqrt[n]{a}\).

Định nghĩa

Cho số thực a dương và số hữu tỉ \(r = {m \over n}\), trong đó \(m\in Z,n\in N,n\ge 2\). Luỹ thừa của a với số mũ r xác định bởi: \({{a}^{r}}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\).

Nhận xét:

- \(\frac{1}{{{a}^{n}}}=\sqrt[n]{a}(a>0,n\in N,n\ge 2)\).

- Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên.

 

Cho a là số thực dương, \( \alpha\) là số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn tồn tại dãy số hữu tỉ (r_n) có giới hạn là \( \alpha\) và dãy số (a^r_n) tương ứng có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (rn).

Cho a là số thực dương, \( \alpha\) là số vô tỉ, (rn) là dãy số hữu tỉ và limrn = \( alpha\). Giới hạn của dãy số (arn) gọi là luỹ thừa của a với số mũ \( \alpha\), kí hiệu \({{a}^{\alpha }}\), \({{a}^{\alpha }}=\lim {{a}^{{{r}_{n}}}}\).

Nhận xét: Từ định nghĩa ta có: \({{1}^{\alpha }}=1,\forall \alpha \in R\).

 

- Cho a, b là những số thực dương; \( \alpha, \beta\) là những số thực tuỳ ý. Khi đó, ta có:   1) \({{a}^{\alpha }}.{{a}^{\beta }}={{a}^{\alpha +\beta }}\)   2) \(\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{a}^{\beta }}}={{a}^{\alpha -\beta }}\)   3) \({{(ab)}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }}.{{b}^{\alpha }}\)   4) \({{\left( {{a}^{\alpha }} \right)}^{\beta }}={{a}^{\alpha \beta }}\)   5) \({{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }}=\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{b}^{\alpha }}}\)  - Nếu a > 1 thì \({{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha >\beta \).  - Nếu 0 < a < 1 thì \({{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha <\beta \).

 

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính luỹ thừa với số mũ thực. Cụ thể như sau (lấy kết quả với 4 chữ số ở phần thập phân):

Bài 1. Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}} - \frac{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}\left( {ab \ne 0;a \ne \pm b} \right)\).

 

Hướng dẫn giải

\(A = \frac{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}} - \frac{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}} = \frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}} - \frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}}\).

\(= \frac{{{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)}^2} - {{\left( {{b^n} - {a^n}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)\left( {{b^n} - {a^n}} \right)}} = \frac{{4{a^n}{b^n}}}{{{b^{2n}} - {a^{2n}}}}\).

 

Bài 2. Cho a,b là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\left( {1 - 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}\).

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ - \frac{1}{2}}}}}\).

 

Hướng dẫn giải

a) \(\left( {1 - 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = {\left( {1 - \sqrt {\frac{a}{b}} } \right)^2}:\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\).

\(= \frac{{{{\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)}^2}}}{b}.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} = \frac{1}{b}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ - \frac{1}{2}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}}\left( {1 - {b^2}} \right)}}{{{b^{ - \frac{1}{2}}}\left( {{b^2} - 1} \right)}} = 1 + a + 1 = a + 2\).

Học xong bài học này, em có thể:

- Nhận biết khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên khác 0; số mũ hữu tỉ và số mũ thực của một số thực dương.

- Giải thích tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực.

- Sử dụng tính chất của phép tính luỹ thừa trong tính toán. Tính giá trị biểu thức bằng máy tính cầm tay.

- Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với phép tính luỹ thừa.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 1 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho số nguyên dương n ≥ 2, số a được gọi là căn bậc n của số thực b nếu...?

  • A. bⁿ = a
  • B. aⁿ = b
  • C. aⁿ = bⁿ
  • D. n^a = b

• Câu 2:

  Cho a > 0, b < 0, α ∉ Z, n ∈ N*, khi đó biểu thức nào bên dưới đây không có nghĩa?

  • A. aⁿ
  • B. bⁿ
  • C. a^α
  • D. b^α

• Câu 3:

  So sánh nào bên dưới đây đúng?

  • A. \({\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} > 1\)
  • B. \({\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} = 1\)
  • C. \({\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} < 1\)
  • D. \({\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} > 2\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Khởi động trang 27 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 1 trang 27 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 1 trang 28 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 2 trang 28 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 2 trang 28 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 3 trang 29 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 3 trang 29 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 4 trang 29 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 4 trang 30 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 5 trang 30 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 5 trang 31 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 6 trang 31 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 6 trang 32 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 7 trang 32 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 1 trang 33 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 2 trang 33 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 3 trang 33 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 4 trang 33 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 5 trang 33 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 6 trang 33 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 1 trang 33 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 2 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 3 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 4 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 5 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 6 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 7 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 8 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 9 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 10 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 11 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 12 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 13 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 14 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 16 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!