Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) =  - {x^2} + x + 3\)được biểu diễn trong hình 1

a) Biểu thức \(f\left( x \right)\) là đa thức bậc mấy?

b) Xác định dấu của \(f\left( 2 \right)\)

Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại \(x = 1\).

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\);

b) \(g\left( x \right) =  - {x^4} + 2{x^2} + 1\)

c) \(h\left( x \right) =  - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\)

Tìm biệt thức và nghiệm của các tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 5x + 2\)

b) \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 6x - 9\)

c) \(h\left( x \right) = 4{x^2} - 4x + 9\)

Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình thức dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết:

+) Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức \(\Delta \)

+) Các khoảng giá trị của \(x\)mà trên đó \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\)

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\)         

b) \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x - 3\)

Xét dấu tam thức bậc hai \(h\left( x \right) =  - 0,006{x^2} + 1,2x - 30\) trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu

Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

a) \(4{x^2} + 3x + 1\)

b) \({x^3} + 3{x^2} - 1\)

c) \(2{x^2} + 4x - 1\)

Xác định giá trị của m  để các đa thức sau là tam thức bậc hai

a) \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\)

b) \(m{x^3} + 2{x^2} - x + m\)

c) \( - 5{x^2} + 2x - m + 1\)

Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau đây:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 4x + 2\)

b) \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + 2x + 21\)                  

c) \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + x - 2\)

d) \(f\left( x \right) =  - 4x(x + 3) - 9\)

e) \(f\left( x \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số \(h\left( x \right) =  - 0,1{x^2} + x - 1\). Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ và ngang vành rổ? Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười.

Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20 cm và chiều rộng 15 cm được uốn lại thành hình chữ nhật mới có kích thước \(\left( {20 + x} \right)\) cm và \(\left( {15 - x} \right)\) cm. Với x nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi?

Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có \(9{m^2} + 2m >  - 3\)

Tìm giá trị của m để:

a) \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);

b) \(m{x^2} + 5x - 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Tính biệt thức và nghiệm (nếu có) của tam thức bậc hai sau. Xác định dấu của chúng tại \(x =  - 2\)

a) \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 3x - 4\)

b) \(g\left( x \right) = 2{x^2} + 8x + 8\)

c) \(h\left( x \right) = 3{x^2} + 7x - 10\)

Tìm giá trị của tham số m để:

a) \(f\left( x \right) = \left( {2m - 8} \right){x^2} + 2mx + 1\) là một tam thức bậc hai

b) \(f\left( x \right) = \left( {2m + 3} \right){x^2} + 3x - 4{m^2}\) là một tam thức bậc hai có \(x = 3\) là một nghiệm

c) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + mx - 3\) dương tại \(x = 2\)   

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 9} \right){x^2} + \left( {m + 6} \right)x + 1\) là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất

b) \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 1\) là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt

c) \(f\left( x \right) = m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 1\) là một tam thức bậc hai vô nghiệm

Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai được cho trong hình dưới đây, xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng:

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 4\)   

b) \(f\left( x \right) =  - \frac{1}{3}{x^2} + 2x - 3\)

c) \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + 4\)

d) \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 3x + 5\)

e) \(f\left( x \right) =  - 6{x^2} + 3x - 1\) 

g) \(f\left( x \right) = 4{x^2} + 12x + 9\)

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} + 5x + 2\) là tam thức bậc hai không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\)

b) \(f\left( x \right) = m{x^2} - 7x + 4\) là tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

c) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + \left( {3m - 1} \right)\) là tam thức bậc hai dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

d) \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - 3mx + 1\) là tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Chứng minh rằng

a) \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

b) \({x^2} + x + \frac{1}{4} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

c) \( - {x^2} <  - 2x + 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua ba điểm có tọa độ là \(\left( { - 1; - 4} \right),\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {1; - 14} \right)\)

b) Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua ba điểm có tọa độ là \(\left( {0; - 2} \right),\left( {2;6} \right)\) và \(\left( {3;13} \right)\)

c) \(f\left( { - 5} \right) = 33,f\left( 0 \right) = 3\) và \(f\left( 2 \right) = 19\)