Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 5

a) Quy tắc cộng

Nhận xét: Tương tự. ta cũng có quy tắc sau:

Một công việc được hoàn thành bởi một trong ba hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện hành động thứ ba có p cách thực hiện (các cách thực hiện của ba hành động là khác nhau đôi một) thì công việc đó có m + n + p cách hoàn thành.

b) Quy tắc nhân

Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:

Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp: Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất và mỗi cách thực hiện hành động thứ hai có p cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có m.n.p cách hoàn thành.

c) Sơ đồ hình cây

Nhận vét

* Sơ đồ hình cây (Hình cho sau) là sơ đồ bắt đầu tại một nút duy nhất với các nhánh toả ra các nút bổ sung.

* Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành một công việc khi công việc đó đòi hỏi những hành động liên tiếp.

a) Hoán vị

*Định nghĩa

Ví dụ: Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ

Giải

Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3 là: 123, 132, 213, 231, 212, 621.

*Số các hoán vị

Quy ước: Tích 1. 2... n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n! = 1.2... n.

Như vậy Pn = n!

b) Chỉnh hợp

*Định nghĩa

*Số các chỉnh hợp

Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \(1 \le k \le n\).

Ta có: \(A_n^k = n\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\).

a) Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với \(1 \le k \le n\).

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

b) Các số tổ hợp, tính chất

Nhận xét: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó.

+ Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phẩn tử với \(1 \le k \le n\). Ta có: \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}}\). 

+ \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) với \(0 \le k \le n\)

+ Tính chất: Ta có hai đẳng thức sau: \(C_n^k = C_n^{n - k}\left( {0 \le k \le n} \right)\) và \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k\left( {1 \le k \le n} \right)\).

Quy ước: \(0! = 1;C_n^0 = 1\). 

Ta có hai công thức khai triển sau:

Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) ứng với n=4; n=5.

Bằng cách như thế, ta có thể khai triển được \({\left( {a + b} \right)^n}\) với n là số nguyên dương lớn hơn 5.

Câu 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập được bao nhiêu số lẻ gồm ba chữ số đôi một khác nhau?

Hướng dẫn giải

Việc lập số lẻ gồm ba chữ số đôi một khác nhau là thực hiện 3 hành động liên tiếp: chọn chữ số hàng đơn vị, chọn chữ số hàng chục, chọn chữ số hàng trăm.

chọn chữ số hàng đơn vị: Có 3 cách chọn (1, 3, 5).

chọn chữ số hàng chục: Có 4 cách chọn (các số khác chữ số hàng đơn vị).

chọn chữ số hàng trăm: Có 3 cách chọn (các số khác chữ số hàng đơn vị và hàng chục).

Theo quy tắc nhân, số số lẻ lập được là: 3.4.3=36 (số).

Câu 2: Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?

Hướng dẫn giải

Một số có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là một hoán vị của sáu chữ số này.

Vậy số các số phải tìm là: \({P_6} = 6! = 720\)( số )

Câu 3: Trong vòng đấu loại trực tiếp của một giải bóng đá, nếu sau khi kết thúc 90 phút thi đấu và cả hai hiệp phụ của trận đấu mà kết quả vẫn hoà thì loạt đá luân lưu 11m sẽ được thực hiện. Tính số cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ là một chỉnh hợp chập 5 của 11.

Vậy ta có \(A_{11}^5 = 55440\) (cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ)

Câu 4: Tính:

a) \(C_7^2\)

b)  \(C_9^0 + C_9^9\)

c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3\)

Hướng dẫn giải

a) \(C_7^2 = \frac{{7!}}{{2!.5!}} = \frac{{7.6}}{2} = 21\)

b) \(C_9^0 + C_9^9 = \frac{{9!}}{{0!.9!}} + \frac{{9!}}{{9!.0!}} = 2\)

c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3 = \frac{{15!}}{{3!.12!}} - \frac{{14!}}{{3!.11!}} = \frac{{15.14.13}}{{3.2.1}} - \frac{{14.13.12}}{{3.2.1}} = 91\)

Câu 5: Khai triển biểu thức: \({\left( {2 - 3y} \right)^4}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {2 - 3y} \right)^4} = {\left[ {2 + \left( { - 3y} \right)} \right]^4} = {2^4} + {4.2^3}.\left( { - 3y} \right) + {6.2^2}.{\left( { - 3y} \right)^2} + {4.2^1}.{\left( { - 3y} \right)^3} + {\left( { - 3y} \right)^4}\\ = 16 - 96y + 216{y^2} - 216{y^3} + 81{y^4}\end{array}\) 

Câu 6: Khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^5}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {3x - 2} \right)}^5}\; = {{\left( {3x} \right)}^5} + 5{{\left( {3x} \right)}^4}.\left( { - 2} \right) + 10.{{\left( {3x} \right)}^3}.{{\left( { - 2} \right)}^2} + 10.{{\left( {3x} \right)}^2}.{{\left( { - 2} \right)}^3} + 5\left( {3x} \right).{{\left( { - 2} \right)}^4}\; + {\rm{ }}{{\left( { - 2} \right)}^5}}\\
{ = {\rm{ }}243{x^5}\; - {\rm{ }}810{x^4}\; + {\rm{ }}1080{x^3}\; - {\rm{ }}720{x^2}\; + {\rm{ }}240x{\rm{ }} - 32.}
\end{array}\)

Qua bài giảng này giúp các em:

- Ôn tập và hệ thống lại các kiến thức trọng tâm của chương.

- Áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập một cách dễ dàng.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.

  • A. 210
  • B. 240
  • C. 180
  • D. 160

• Câu 2:

  Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B?

  • A. 20
  • B. 300
  • C. 18 
  • D. 15 

• Câu 3:

  Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên?

  • A. 160
  • B. 106
  • C. 108
  • D. 180

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 5 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Giải bài 1 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 2 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 3 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 4 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 5 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 6 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 7 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 8 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 38 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 39 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 40 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 41 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 42 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 43 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 44 trang 18 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 45 trang 18 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 46 trang 18 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 47 trang 18 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 48 trang 18 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 49 trang 18 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 50 trang 18 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!