Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 2

a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: \(ax + by \le c\left( {ax + by \ge c,ax + by < c,ax + by > c} \right)\) 

(trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.)

Cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by \le c\) nếu bất đẳng thức \(a{x_0} + b{y_0} \le c\) đúng.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax + by = z chia mặt phẳng toạ độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by > c;

+ Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by < c.

(Bờ d gồm các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by = c.)

- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by \le c\) 

+ Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

+ Lấy một điểm M0(x0; y0) không thuộc d. 

+ Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh với c.

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình.

a) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ bất phương trình bậc nhát hai ần là một hệ gồm hai hay nhiều bắt phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

b) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

-  Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẳn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

-  Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bắt phương trình bậc nhất hai ẩn:

• Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.
• Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

c) Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F{x, y) = ax + by, với (x, y) là toạ độ các điểm thuộc miễn đa giác A1A2...An, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Câu 1: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x + 2y \ge 0\).

a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với y=0, có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho?

Hướng dẫn giải

a)

+) Ta thử với cặp số (x;y)=(0;0):

Thay x=0 và y=0 vào bất phương trình \(x + 2y \ge 0\), ta được: (Đúng)

\(0 + 2.0 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0\)(Đúng)

=> (0;0) là một nghiệm của bất phương trình \(x + 2y \ge 0\)

+) Ta thử với cặp số (1;1):

Thay x=1, y=1 vào bất phương trình \(x + 2y \ge 0\) ta được:

\(1 + 2.1 \ge 0 \Leftrightarrow 3 \ge 0\)(Đúng)

=>  (1;1) là một nghiệm của bất phương trình \(x + 2y \ge 0\)

Như thế ta đã tìm được 2 nghiệm của bất phương trình đã cho là (0;0) và (1;1).

b) Thay y=0 vào bất phương trình \(x + 2y \ge 0\) ta được:

\(x + 2.0 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

Ta thấy bất phương trình bài cho tương đương với bất phương trình nên số giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho là số x thỏa mãn điều kiện .

Mà ta có vô số giá trị của x thỏa mãn nên có vô số giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Câu 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:  \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y > 0\\x + y \le 100\\2x + y < 120\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(y > 0\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(y > 0\) là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) không kể trục Ox.

Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 100\)

+ Vẽ đường thẳng d: x+y=100

+ Vì 0+0=0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 100\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 120\)

Tương tự miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 120\) là nửa mặt phẳng bờ d’ chúa gốc tọa độ O. (không kể đường thẳng d’).

Khi đó miền không bị gạch là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không kể đoạn thẳng OC và CD).

Qua bài giảng này giúp các em:

- Dạng tổng quát của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Biết xác định miền nghiệm của BPT

- Hiểu được khái niệm BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn; tập nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.

- Biết xác định miền nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.

- Áp dụng được vào bài toán thực tế.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Miền nghiệm của bất phương trình: \(3(x - 1) + 4(y - 2)< 5x - 3\) là nửa mặt phẳng chứa điểm:

  • A. (0;0).
  • B. (−4;2).
  • C. (−2;2).
  • D. (−5;3).

• Câu 2:

  Miền nghiệm của bất phương trình\( - x + 2 + 2( (y - 2) < 2( 1 - x) \) không chứa điểm:

  • A. (0;0).
  • B. (1;1).
  • C. (4;2).
  • D. (1;−1).

• Câu 3:

  Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
  2x - y + 2 \ge 0\\
   - x - 2y - 2 < 0
  \end{array} \right.\) là miền chứa điểm nào trong các điểm sau?

  • A. \(M\left( {1;1} \right)\)
  • B. \(N\left( { - 1;1} \right)\)
  • C. \(P\left( { - 1; - 1} \right)\)
  • D. \(Q\left( { - 2; - 1} \right)\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Giải bài 2.7 trang 31 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.8 trang 31 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.9 trang 31 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.10 trang 31 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.11 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.12 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.13 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.14 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.15 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.16 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.10 trang 24 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.11 trang 24 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.12 trang 24 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.13 trang 24 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.14 trang 24 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.15 trang 25 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.16 trang 25 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.17 trang 25 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.18 trang 26 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.19 trang 26 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.20 trang 26 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.21 trang 26 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.22 trang 26 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.23 trang 26 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.24 trang 27 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.25 trang 27 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.26 trang 27 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.27 trang 27 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.28 trang 27 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.29 trang 28 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!