Toán 10 Kết nối tri thức Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ: Cho hệ bắt phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y \ge 0\\
x + y \le 150
\end{array} \right.\)

a) Hệ trên có phải là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?

b) Kiểm tra xem cặp số (x; y) = (0; 0) có phải là một nghiệm của hệ bất phương trình trên không.

Giải

a) Hệ bắt phương trình đã cho là một hệ bắt phương trinh bậc nhất hai ẩn x và y.

b) Cặp số (x, y) = (0; 0) thoả mãn cả ba bắt phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bắt phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho. 

Ví dụ: Biểu diến miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ: \(\left\{ \begin{array}{l}
7x + 4y \le 2400\\
x + y \le 100\\
x \ge 0
\end{array} \right.\)

Giải

Bước 1: Xác định miền nghiệm D₁, của bắt phương trình \(7x + 4y \le 2400\) và gạch bỏ miền còn lại.

+ Vẽ đường thẳng d: 7x + 4y =2 400.

+ Vị 7.0 + 4.0 = 0 < 2 400 nên toạ độ điểm O(0; 0) thoả mãn bắt phương trình \(7x + 4y \le 2400\) 

Do đó, miền nghiệm D1, của bắt phương trình \(7x + 4y \le 2400\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc toạ độ O. 

Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D₂, của bất phương trình \(x + y \le 100\) là nửa mặt phẳng bờ d' chứa gốc toạ độ O. 

Bước 3: Tương tự, miền nghiệm D3, của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0). 

Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong sau

Nhận xét: Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F{x, y) = ax + by, với (x, y) là toạ độ các điểm thuộc miễn đa giác A₁A₂...A_n, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ: 

Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà điều hoà hai chiều và điều hoà một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỷ đồng.

Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy đề lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Giải

Giả sử cửa hàng cần nhập số máy điều hoà hai chiều là x và số máy điều hoà một chiều là y. Khi đó ta có \(x \ge 0,y \ge 0\).

Vì nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên \(x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} \le 100.\)

Số tiên để nhập hai loại máy điều hoà với số lượng như trên là: 20x + 10y (triệu đồng).

Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại máy là 1,2 tỉ đồng, nên ta có \(20x + 10y \le 1200\) hay \(2x + y \le 120\)

Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc nhất hai ần sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y \ge 0\\
x + y \le 100\\
2x + y \le 120
\end{array} \right.\) 

Lợi nhuận thu được khi bán x máy điều hoà hai chiều và y máy điều hoà một chiều là F(x;y) = 3,5x + 2y.

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x, y) khi (x, y) thoả mãn hệ bắt phương trình trên.

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với toạ độ các đỉnh O(0:0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0) 

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tứ giác này: F (0;0) = 0, F (0;100) = 200, F (20,80) = 230, F (60;0) = 210.

Bước 3: So sánh các giá trị thu được của F ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là F (20:80) = 230.

Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hoà hai chiều và 80 máy điều hoà một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Câu 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:  \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y > 0\\x + y \le 100\\2x + y < 120\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(y > 0\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(y > 0\) là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) không kể trục Ox.

Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 100\)

+ Vẽ đường thẳng d: x+y=100

+ Vì 0+0=0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 100\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 120\)

Tương tự miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 120\) là nửa mặt phẳng bờ d’ chúa gốc tọa độ O. (không kể đường thẳng d’).

Khi đó miền không bị gạch là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không kể đoạn thẳng OC và CD).

Câu 2: Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương

trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó đề lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a)

Bước 1: Ta có:

Bước 2: Lập hệ bất phương trình

Vì số lượng máy là số tự nhiên nên ta có \(x \ge 0;y \ge 0\)

Vốn nhập vào x máy loại A và y máy loại B là \(10x + 20y\)(triệu đồng)

4 tỉ đồng=4000 (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có bất phương trình

\(10x + 20y \le 4000\) \( \Leftrightarrow x + 2y \le 400\)

Vì tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy nên ta có \(x + y \le 250\).

Vậy ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + 2y \le 400\\x + y \le 250\end{array} \right.\)

Bước 3: Xác định miền nghiệm

Miền nghiệm là tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh này là O(0;0), A(250;0), B(100;150), C(0;200)

b) Lợi nhuận hàng tháng là F(x;y)=2,5x+4y(triệu đồng)

c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + 2y \le 400\\x + y \le 250\end{array} \right.\)

Ta có F(0;0)=0, F(250;0)=2,5.250+4.0=625

F(100;150)=2,5.100+4.150=850

F(0;200)=2,5.0+4.200=800

Giá trị lớn nhất là F(100;150)=850.

Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 100 máy A và 150 máy B.

Qua bài giảng Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn này giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Hiểu được khái niệm BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn; tập nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.

- Biết xác định miền nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.

- Áp dụng được vào bài toán thực tế.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 2 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hệ bất phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}
  2{\rm{x}} - \frac{3}{2}y \ge 1\\
  4{\rm{x}} - 3y \le 2
  \end{array} \right.\) có tập nghiệm S. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

  • A. \(\left( { - \frac{1}{4}; - 1} \right) \notin S\)
  • B. \(S = \left\{ {\left( {x;y} \right)|4x - 3 = 2} \right\}\) 
  • C. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d, với d là là đường thẳng 4x − 3y = 2
  • D. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d, với d là là đường thẳng 4x − 3y = 2

• Câu 2:

   Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
  2{\rm{x + 3y < 5(1)}}\\
  {\rm{x + }}\frac{3}{2}y < 5(2)
  \end{array} \right.\). Gọi S₁ là tập nghiệm của bất phương trình (1), S₂ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì

  • A. \({S_1} \subset {S_2}\) 
  • B. \({S_2} \subset {S_1}\) 
  • C. \({S_2} = S\) 
  • D. \({S_1} \ne S\) 

• Câu 3:

  Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D ?

  

  • A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {y > 0}\\
    {3x + 2y < 6}
    \end{array}} \right.\)
  • B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {y > 0}\\
    {3x + 2y <  - 6}
    \end{array}} \right.\)
  • C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x > 0}\\
    {3x + 2y < 6}
    \end{array}} \right.\) 
  • D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x > 0}\\
    {3x + 2y >  - 6}
    \end{array}} \right.\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 2 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 10 tập 1

Hoạt động 1 trang 26 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 1 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 2 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 2 trang 28 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 3 trang 28 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Vận dụng trang 30 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.4 trang 30 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.5 trang 30 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.6 trang 30 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.6 trang 23 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.7 trang 23 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.8 trang 23 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.9 trang 23 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!