Toán 10 Kết nối tri thức Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Ví dụ: Cặp số (x; y) = (100; 100) thoả mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.

Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số (x; y) = (150; 150).

Giải

Bước 1:

Từ HĐ 1 ta có hai bất phương trình:

\(x + 2y \ge 400\left( 1 \right)\) và \(x + 2y < 400\left( 2 \right)\)

Thay x=100 và y=100 vào bất phương trình (1) ta được:

\(100 + 2.100 \ge 400 \Leftrightarrow 300 \ge 400\) (Vô lí)

=> Cặp số (x;y)=(100;100) không thỏa mãn bất phương trình (1).

Thay x=100 và y=100 vào bất phương trình (2) ta được:

\(100 + 2.100 < 400 \Leftrightarrow 300 < 400\) (Đúng)

=> Cặp số (x;y)=(100;100) thỏa mãn bất phương trình (2).

Cặp số (x;y)=(100;100) thỏa mãn bất phương trình (2) có nghĩa là nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim phải bù lỗ.

Bước 2:

Thay x=150 và y=150 vào bất phương trình (1) ta được:

\(150 + 2.150 \ge 400 \Leftrightarrow 450 \ge 400\) (Đúng)

=> Cặp số (x;y)=(150;150) thỏa mãn bất phương trình (1).

Thay x=150 và y=150 vào bất phương trình (2) ta được:

\(150 + 2.150 < 400 \Leftrightarrow 450 < 400\) (Vô lí)

=> Cặp số (x;y)=(150;150) không thỏa mãn bất phương trình (2).

Cặp số (x;y)=(150;150) thỏa mãn bất phương trình (1) có nghĩa là nếu bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì rạp chiếu phim không phải bù lỗ.

- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax + by = z chia mặt phẳng toạ độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by > c;

+ Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by < c.

(Bờ d gồm các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by = c.)

- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by \le c\) 

+ Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

+ Lấy một điểm M₀(x₀; y₀) không thuộc d. 

+ Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh với c.

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M₀ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(5x{\rm{ }} - {\rm{ }}7y\;{\rm{ }} \le {\rm{ }}0\) trên mặt phẳng toạ độ 

Giải

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 5x - 7y = 0 trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Bước 2: Lấy điểm M₀(0; 1) không thuộc d và thay x = 0, y = 1 vào biểu thức 5x - 7y ta được: 5.0 - 7.1 = -7 < 0.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm M₀ (miền không bị gạch).

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c là miền nghiệm của bắt phương trình \(ax + by \le c\) bỏ đi đường thẳng ax + by = c và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Câu 1: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x + 2y \ge 0\).

a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với y=0, có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho?

Hướng dẫn giải

a)

+) Ta thử với cặp số (x;y)=(0;0):

Thay x=0 và y=0 vào bất phương trình \(x + 2y \ge 0\), ta được: (Đúng)

\(0 + 2.0 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0\)(Đúng)

=> (0;0) là một nghiệm của bất phương trình \(x + 2y \ge 0\)

+) Ta thử với cặp số (1;1):

Thay x=1, y=1 vào bất phương trình \(x + 2y \ge 0\) ta được:

\(1 + 2.1 \ge 0 \Leftrightarrow 3 \ge 0\)(Đúng)

=>  (1;1) là một nghiệm của bất phương trình \(x + 2y \ge 0\)

Như thế ta đã tìm được 2 nghiệm của bất phương trình đã cho là (0;0) và (1;1).

b) Thay y=0 vào bất phương trình \(x + 2y \ge 0\) ta được:

\(x + 2.0 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

Ta thấy bất phương trình bài cho tương đương với bất phương trình nên số giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho là số x thỏa mãn điều kiện .

Mà ta có vô số giá trị của x thỏa mãn nên có vô số giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Câu 2: Cho đường thẳng d: 2x - y = 4 trên mặt phẳng toạ độ Oxy (H.2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

a) Các điểm 0,0; 0), A(-1; 3) và B(-2; -2) có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không?

Tính giá trị của biểu thức 2x - y tại các điểm đó và so sánh với 4.

b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm C(3; 1), D(4; -1).

Hướng dẫn giải

a)

Bước 1:

Quan sát hình trên, các điểm A, O, B là các điểm được bôi vàng, và các điểm đó cùng nằm một phía (bên trái) nên chúng thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

Bước 2:

+) Thay tọa độ của điểm O(0;0) vào biểu thức 2x-y ta được: 2.0-0=0.

Như vậy giá trị của biểu thức 2x-y tại O là 0 và 0<4.

+) Thay tọa độ của điểm A(-1;3) vào biểu thức 2x-y ta được: 2.(-1)-3=-5.

Như vậy giá trị của biểu thức 2x-y tại A là -5 và -5<4

+) Thay tọa độ của điểm B(-2;-2) vào biểu thức 2x-y ta được: 2.(-2)-(-2)=-2.

Như vậy giá trị của biểu thức 2x-y tại B là -2 và -2<4.

b) 

Bước 1:

Quan sát hình trên, các điểm C, D là các điểm được bôi vàng, và các điểm đó cùng nằm một phía (bên phải) nên chúng thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

Bước 2:

+) Thay tọa độ của điểm C(3;1) vào biểu thức 2x-y ta được: 2.3-1=5.

Như vậy giá trị của biểu thức 2x-y tại C là 5 và 5>4.

+) Thay tọa độ của điểm D(4;-1) vào biểu thức 2x-y ta được: 2.4-(-1)=9.

Như vậy giá trị của biểu thức 2x-y tại D là 9 và 9>4

Qua bài giảng Bất phương trình bậc nhất hai ẩn này giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Dạng tổng quát của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Biết xác định miền nghiệm của BPT

- Áp dụng được vào bài toán thực tế

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 2 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình 5x - 2(y - 1) < 0 ?

  • A. (0; 1)
  • B. (-1; 1)
  • C. (1; 3)
  • D. (-1; 0)

• Câu 2:

  Cho hai bất phương trình x - 2y - 1 < 0 và 2x - y + 3 > 0 (2) và điểm M(-3; -1) . Kết luận nào sau đây là đúng?

  • A. Điểm M thuộc miền nghiệm của cả (1) và (2); 
  • B. Điểm M thuộc miền nghiệm của (1) nhưng không thuộc miền nghiệm của (2); 
  • C. Điểm M không thuộc miền nghiệm của (1) nhưng thuộc miền nghiệm của (2); 
  • D. Điểm M không thuộc miền nghiệm của cả (1) và (2). 

• Câu 3:

  Bất phương trình 3x - 2(y - x + 1) tương đương với bất phương trình nào trong số các bất phương trình sau đây?

  • A. x - 2y - 2 > 0
  • B. 5x - 2y - 2 > 0
  • C. 5x - 2y - 1 > 0
  • D. 4x - 2y -2 > 0

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 10 tập 1

Hoạt động 1 trang 22 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 2 trang 23 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 1 trang 23 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 3 trang 23 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 2 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Vận dụng trang 25 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.1 trang 25 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.2 trang 25 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.3 trang 25 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.1 trang 18 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.2 trang 18 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.3 trang 18 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.4 trang 19 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 2.5 trang 19 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!