Toán 10 Kết nối tri thức Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\). Viết phương trình đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải

Ta viết phương trình của (C) ở dạng \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 3} \right)} \right)^2} = {4^2}\)

Vậy (C) có tâm I = (2;- 3) và bán kinh R= 4.

Đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh R'= 2R= 8, nên có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64\). 

Nhận xét: Phương trình (1) tương đương với \({x^2} + {y^2} - 2{\rm{a}}x - 2by + \left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} - {R^2}} \right) = 0\). 

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(2; 0), B(0; 4), C(-7: 3).

Giải

Các đoạn thẳng AB, AC tương ứng có trung điểm là M(1 2), \(N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\). Đường thẳng trung trực \({\Delta _1}\) của đoạn thằng AB đi qua M(1, 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)\) nên \({\Delta _1}\) cũng nhận \(\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình của \({\Delta _1}\) là

1(x - 1) - 2(y - 2)= 0 hay x - 2y + 3 = 0.

Đường thẳng trung trực \({\Delta _2}\) của đoạn thẳng AC đi qua \(N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AC} \left( { - 9,{\rm{ }}3} \right)\).

Vi A€(-9; 3) cùng phương với n; (3 - 1) nên Az cũng nhận n; (3 - 1) là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trinh của \({\Delta _2}\) là

\(3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - 1\left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0\) hay \(3x - y + 9 = 0\) 

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Vậy toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 3 = 0\\
3x - y + 9 = 0
\end{array} \right.\)

Suy ra I(-3; 0). Đường tròn (C) có bán kính là IA = 5. Vậy phương trình của (C) là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} = 25\). 

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\). Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải

Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 - 3} \right)^2} = 5\), nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( { - 1;2} \right)\), nên có phương trình 

\( - 1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\).

Câu 1: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.

a. x² + y² - 2x + 4y - 2 = 0

b. x² + y² - 2x + 4y + 6 = 0

c. x² + y² + 6x + 4y  + 2 = 0

Hướng dẫn giải

a. Ta có: a = 1; b = -2; c = -2

Xét a² + b² - c = 7 > 0.

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

Tâm I(1; -2). Bán kính R = \(\sqrt{7}\)

b. Ta có: a = 1; b = -2; c = 6

Xét a² + b² - c = -1 < 0.

Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

c. Ta có: a = -3; b = 2; c = 2

Xét a² + b² - c = 11 > 0.

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

Tâm I(-3; 2). Bán kính R = \(\sqrt{11}\)

Câu 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) tại điểm N(1; 0).

Hướng dẫn giải

Do 1² + 0² - 2.1 + 4.0 + 1 = 0, nên điểm N thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) . Tiếp tuyến của (C) tại N có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{IN}(0;2)\)

Phương trình tiếp tuyến là: 0.(x - 1) + 2(y - 0) = 0 hay y = 0

Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Lập phương trình đường tròn khi biết toa độ tâm và bán kính hoặc biết toạ độ ba điểm thuộc đường tròn.

- Xác định tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình của nó.

- Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết toạ độ của tiếp điểm.

- Vận dụng kiến thức về phương trình đường tròn để giải một số bài toán liên quan đền thực tiến.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Đường tròn tâm I (a; b) và bán kính R có dạng:

  • A. \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\) 
  • B. \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)
  • C. \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\)
  • D. \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) 

• Câu 2:

  Đường tròn \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\) có tọa độ tâm I và bán kính lần lượt là:

  • A. \(I\left( {a;b} \right),R\)
  • B. \(I\left( { - a; - b} \right),R\)
  • C. \(I\left( {a;b} \right),{R^2}\) 
  • D. \(I\left( { - a; - b} \right),{R^2}\) 

• Câu 3:

  Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2}\; + \;{y^2}\; + \;2x\;--\;8y\; + \;8\; = \;0\). Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R với

  • A. \(I\left( {2; - 8} \right),\;R = 2\sqrt 2 \) 
  • B. \(I\left( {1; - 4} \right),\;R = 3\) 
  • C. \(I\left( { - 1;4} \right),R = 3\) 
  • D. \(I\left( {1; - 4} \right),R = 2\sqrt 2 \)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 43 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 1 trang 44 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 2 trang 44 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 3 trang 45 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Vận dụng trang 45 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 2 trang 46 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 4 trang 46 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.13 trang 46 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.14 trang 46 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.15 trang 47 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.16 trang 47 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.17 trang 47 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.18 trang 47 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.19 trang 41 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.20 trang 41 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.21 trang 41 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.22 trang 41 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.23 trang 42 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.24 trang 42 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.25 trang 42 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.26 trang 42 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.27 trang 42 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!