Toán 10 Kết nối tri thức Bài 19: Phương trình đường thẳng

Nhận xét

+ Nếu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thi k\(\overrightarrow n \) (\(k \ne 0\)) cũng là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có ba đỉnh là A(3, 1), B(4; 0), C(5; 3). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB và một vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Giải

Đường trung trực của đoạn thẳng AB vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} (1; - 1)\)

Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC vuông góc với BC nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {BC} (1; 3)\)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2: 1) và nhận \(\overrightarrow n \left( {3;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

Giải

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là 3(x - 2)+ 4(y - 1) = 0 hay 3x + 4y - 10 = 0

Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta \): ax + by + c = 0

+ Nếu b = 0 thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng x = m (với \(m =  - \frac{c}{a}\)) và \(\Delta \) vuông góc với Ox.

+ Nếu \(b \ne 0\) thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng y =  nx + p (với \(n =  - \frac{a}{b},p =  - \frac{c}{b}\))

Nhận xét

+ Nếu \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) thì k\(\overrightarrow u \) (\(k \ne 0\)) cũng là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

+ Hai vectơ \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) và \(\overrightarrow u \left( {-b;a} \right)\) vuông góc với nhau nên nêu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ, cho A(3; 2), B(1; -4). Hãy chỉ ra hai vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Giải

Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2; - 6} \right)\) là một vectơ chỉ phương.

Lấy \(\overrightarrow u  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1;3} \right)\), khi đó \(\overrightarrow u\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {4; - 1} \right)\).

Giải

Phương trinh tham số của đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 4t\\
y =  - 3 - t
\end{array} \right.\)

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(-1; 5), B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nhận vecto \(\overrightarrow{BC}\) làm vecto pháp tuyến.

\(\overrightarrow{BC}(4; -2)\)

Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC có phương trình là:

4(x +1) - 2(y-5) = 0 hay 4x -2y +14 = 0.

Câu 2: Hãy chỉ ra một vecto chỉ phương của đường thẳng  \(\Delta \): 2x - y +1 = 0

Hướng dẫn giải

\(\Delta \) có một vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}(2; -1)\)

\(\Rightarrow\) một vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow{u}(1; 2)\)

Câu 3: Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(-1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x - 4y -1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\Delta\) song song với d: 3x - 4y -1 = 0.

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n}(3; -4)\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta \) có vecto chỉ phương: \(\overrightarrow{u}(4; 3)\)

Phương trình tham số của \(\Delta\) là:

\(\left\{\begin{matrix}x=-1+4t\\ y=2+3t\end{matrix}\right.\)

Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Nắm được khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng, nắm cách viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết 1 vectơ chỉ phương và đi qua 1 điểm.

- Nắm mối liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng .

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 19 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \(\vec u\left( { - 3;5} \right)\). Vectơ nào dưới đây không phải là VTCP của ∆?

  • A. \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {3; - 5} \right)\) 
  • B. \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 6;10} \right)\) 
  • C. \(\overrightarrow {{u_3}} \left( { - 1;\frac{5}{3}} \right)\) 
  • D. \(\overrightarrow {{u_4}} \left( {5;3} \right)\) 

• Câu 2:

  Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 3) và có hệ số góc k = 4 là:

  • A. \(y = 4\left( {x--2} \right) + 3\) 
  • B. \(4x--y--5 = 0\) 
  • C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {x = 2 + t}\\
    {y = 3 + 4t}
    \end{array}} \right.,t \in R\) 
  • D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x = 2 + 2t}\\
    {y = 3 + t}
    \end{array}} \right.,t \in R\) 

• Câu 3:

  Cho hai đường thẳng d1: y = 3x – 1 và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = 2 - t}\\
  {y = 5 + 2t}
  \end{array}} \right.\). Góc giữa hai đường thẳng là:

  • A. \(\alpha  = 30^\circ \) 
  • B. \(\alpha  = 45^\circ \) 
  • C. \(\alpha  = 60^\circ \) 
  • D. \(\alpha  = 90^\circ \) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 19 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 31 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 2 trang 31 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 1 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 2 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 3 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 3 trang 33 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 4 trang 33 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 4 trang 33 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 5 trang 33 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Vận dụng trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.1 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.2 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.3 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.4 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.5 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.6 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.1 trang 31 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.2 trang 31 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.3 trang 31 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.4 trang 31 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.5 trang 31 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.6 trang 31 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.7 trang 31 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.8 trang 32 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.9 trang 32 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!