Dưới đây là lý thuyết và bài tập minh họa về Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Toán 10 Kết nối tri thức đã được HỌC247 biên soạn ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu giúp các em dễ dàng nắm được nội dung chính của bài.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Nhận xét: Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm có toa độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vi vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng. Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng
\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\).
Khi đó, toạ độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0
\end{array} \right.(*)\)
|
\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) ⇔ hệ (*) có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\) ⇔ hệ (*) vô nghiệm. \({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2}\) ⇔ hệ (*) có vô số nghiệm. |
|---|
Chú ý
.JPG)
Dựa vào các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) hoặc các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) của \(\overrightarrow {{\Delta _1}} ,\overrightarrow {{\Delta _2}} \) ta có:
+ \({{\Delta _1}}\) Và \({{\Delta _2}}\) song song hoặc trùng nhau ⇔ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương ⇔ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương.
+ \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\) cắt nhau ⇔ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương ⇔ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương.
Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng \(\Delta :x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0\) và mỗi đường thẳng sau:
\(\begin{array}{l}
{\Delta _1}:\sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0;\\
{\Delta _2}:\sqrt 2 x - 2y = 0.
\end{array}\)
Giải
Vì \(\begin{array}{l}
x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 } \right) = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0.
\end{array}\)
Vậy \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _1}}\) là một, tức là chúng trùng nhau.
Hai đường thẳng \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _2}}\) có hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {1; - \sqrt 2 } \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; - 2} \right)\) cùng phương.
Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng \({{\Delta _2}}\) nhưng không thuộc đường thẳng \({{\Delta}}\) nên hai đường thẳng này không trùng nhau.
Vậy \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _2}}\) song song với nhau.
Nhận xét: Giả sử hai đường thẳng \({{\Delta _1}}\), \({{\Delta _2}}\) có hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) (hay hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \)) cùng phương. Khi đó:
+ Nếu \({{\Delta _1}}\) Và \({{\Delta _2}}\) có điểm chung thì \({{\Delta _1}}\) trùng \({{\Delta _2}}\).
+ Nếu tồn tại điểm thuộc \({{\Delta _1}}\) nhưng không thuộc \({{\Delta _2}}\) thì \({{\Delta _1}}\) song song với \({{\Delta _2}}\).
1.2. Góc giữa hai đường thẳng
|
- Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng. - Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°. - Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\). Với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)\) trong ứng. Khi đó, góc \(\varphi \) giữa hai đường thằng đó được xác định thông qua công thức \(cos\varphi = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\) |
|---|
Chú ý
+ \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0\).
+ Nếu \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) thì góc \(\varphi \) giữa \({{\Delta _1}}\) Và \({{\Delta _2}}\) cũng được xác định thông qua công thứ \(cos\varphi = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\)
Ví dụ: Tỉnh góc giữa hai đường thằng
\({\Delta _1}:\sqrt 3 x - y + 2 = 0\) và \({\Delta _2}:x - \sqrt 3 y - 2 = 0\).
Giải
Vectơ pháp tuyến của \({{\Delta _1}}\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\), của \({{\Delta _2}}\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\). Ta có
\(cos\varphi = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + \left( { - 1} \right).\left( { - \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Do đó, góc giữa \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\) là \(\varphi = {30^0}\).
1.3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
|
Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\), được tính bởi công thức \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) |
|---|
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm M(2; 4) đến đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 12 = 0.\)
Giải
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\), ta có
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.4 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\)
Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\) là 2.
Bài tập minh họa
Câu 1: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a. \(\Delta _{1}\): x + 4y - 3 = 0 và \(\Delta _{2}\): x - 4y - 3 = 0;
b. \(\Delta _{1}\): x + 2y - \(\sqrt{5}\) = 0 và \(\Delta _{2}\): 2x + 4y - \(3\sqrt{5}\) = 0.
Hướng dẫn giải
a. \(\Delta _{1}\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{1}}(1; 4)\)
\(\Delta _{2}\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{2}}(1; -4)\)
Ta có \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) không cùng phương, nên \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) cắt nhau.
b. \(\Delta _{1}\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{1}}(1; 2)\)
\(\Delta _{2}\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{2}}(2; 4)\)
Ta có \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) cùng phương nên \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) song song hoặc trùng nhau.
Ta có: x + 2y - \(\sqrt{5}\) = 0 \(\Leftrightarrow \) 2x + 4y - \(2\sqrt{5}\) = 0
2x + 4y - \(2\sqrt{5}\) \(\neq \) 2x + 4y - \(3\sqrt{5}\) nên \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) song song.
Câu 2: Tính góc giữa hai đường thẳng: \(\Delta _{1}\): x + 3y + 2 = 0 và \(\Delta _{2}\): y = 3x + 1
Hướng dẫn giải
\(\Delta _{1}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{1}}(1; 3)\)
\(\Delta _{2}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{2}}(3; -1)\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\), ta có:
\(cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}})\right |=\frac{|1.3-1.3|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}.\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=0\)
Do đó góc giữa \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) là \(\varphi =90^{o}\).
Câu 3: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{\begin{matrix}x=5+3t\\y=-5-4t\end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn giải
Đường thẳng \(\Delta\) qua điểm A(5; -5) và có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}(4; 3)\)
Phương trình tham số của \(\Delta\) là: 4(x -5) + 3(y +5) = 0 Hay 4x + 3y -5 =0.
Áp dụng công thức khoảng cách từ M đến \(\Delta\) là: \(d(M;\Delta )=\frac{|4.1+3.2-5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=1\)
Vậy khoảng cách từ M đến \(\Delta\) là 1.
Luyện tập Bài 20 Toán 10 KNTT
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Biết cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.
- Biết cách xác định góc giữa hai đường thẳng.
- Xác định vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
3.1. Bài tập trắc nghiệm Bài 20 Toán 10 KNTT
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 20 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. \(m \ne 2.\)
- B. \(m \ne \pm 1.\)
- C. \(m \ne 1.\)
- D. \(m \ne - 1.\)
-
- A. \(M\left( {2; - \frac{{11}}{2}} \right).\)
- B. \(M\left( {0;\frac{1}{2}} \right).\)
- C. \(M\left( {0; - \frac{1}{2}} \right).\)
- D. \(M\left( { - \frac{1}{2};0} \right).\)
-
- A. \(4x + 3y = 0\)
- B. \(3x - 4y = 0\)
- C. \(3x + 4y = 0\)
- D. \(4x - 3y = 0\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 20 Toán 10 KNTT
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 20 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 36 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 1 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 2 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 3 trang 38 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 2 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 3 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 4 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 4 trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 5 trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.8 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.9 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.10 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.11 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.12 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.10 trang 37 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.11 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.12 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.13 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.14 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.15 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.16 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.17 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.18 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hỏi đáp Bài 20 Toán 10 KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 HỌC247
