Vật có khối lượng \({{m}_{1}}\) được thả không vận tốc đầu và trượt xuống một vòng xiếc có bán kính \(R\). Tại điểm thấp nhất nó va chạm đàn hồi với vật có khối lượng \({{m}_{2}}\) đang đứng yên Sau va chạm, \({{m}_{2}}\) trượt theo vòng xiếc đến độ cao \(h\) thì rơi khỏi vòng xiếc \((h>R)\). Vật \({{m}_{1}}\) giật lùi trên máng nghiêng rồi lại trượt xuống, lên đến độ cao \(h\) thì cũng rời vòng xiếc. Tìm độ cao ban đầu \(H\) của \({{m}_{1}}\) và tính tỉ số \(\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\). Bỏ qua ma sát

Gọi \(v\) là vận tốc của \({{m}_{1}}\) ngay trước va chạm; \({{v}_{1}},{{v}_{2}}\) là vận tốc của \({{m}_{1}}\) và \({{m}_{2}}\) ngay sau va chạm. Ta có:

\({{m}_{1}}gH=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{v}^{2}}\Rightarrow v=\sqrt{2gH}\) (1)

\(\frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{1}^{2}={{m}_{1}}gh;\frac{1}{2}{{m}_{2}}v_{2}^{2}={{m}_{2}}gh\)

\(\Rightarrow {{v}_{1}}={{v}_{2}}\) (2)

Vì hệ hai vật là hệ kín và va chạm là đàn hồi nên:

+ Theo định luật bảo toàn động lượng, ta có:

\({{m}_{1}}v={{m}_{2}}{{v}_{2}}-{{m}_{1}}{{v}_{1}}\Rightarrow {{v}_{1}}=\frac{{{m}_{1}}v}{{{m}_{2}}-{{m}_{1}}}\) (3)

+ Theo định luật bảo toàn động năng, ta có:

\(\frac{{{m}_{1}}{{v}^{2}}}{2}=\frac{{{m}_{1}}v_{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}v_{2}^{2}}{2}=\frac{\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)v_{1}^{2}}{2}\)

\(\Rightarrow {{v}_{1}}=v\sqrt{\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}\) \(({{v}_{1}}={{v}_{2}})\) (4)

Từ (3) và (4), ta được: \(\frac{{{m}_{1}}v}{{{m}_{2}}-{{m}_{1}}}=v\sqrt{\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}\Rightarrow \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}=3\)

Thay \({{m}_{2}}=3{{m}_{1}}\) vào (3), ta được: \({{v}_{1}}={{v}_{2}}=\frac{{{m}_{1}}v}{3{{m}_{1}}-{{m}_{1}}}=\frac{v}{2}=\frac{\sqrt{2gH}}{2}\)

Gọi \(M\) là điểm vật rời khỏi vòng xiếc, áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho \({{m}_{2}}\) tại hai điểm: điểm thấp nhất và điểm rời khỏi vòng xiếc, ta được:

\(\frac{{{m}_{2}}v_{2}^{2}}{2}={{m}_{2}}gh+\frac{{{m}_{2}}v_{M}^{2}}{2}\Rightarrow v_{2}^{2}=v_{M}^{2}+2gh\) (5)

Tại \(M\), với \({{m}_{2}}\), ta có: \(\overrightarrow{Q}+\overrightarrow{{{P}_{2}}}={{m}_{2}}\overrightarrow{{{a}_{2}}}\) (6)

Chiếu (6) xuống phương hướng tâm, ta được: \(Q+{{m}_{2}}g\cos \alpha ={{m}_{2}}\frac{v_{M}^{2}}{R}\)

Vật rời khỏi vòng xiếc khi: \(Q=0\Rightarrow v_{M}^{2}=gR\cos \alpha \)

Mặt khác: \(\cos \alpha =\frac{h-R}{R}\Rightarrow v_{M}^{2}=gR.\frac{h-R}{R}=g\left( h-R \right)\) (7)

\(\Rightarrow \frac{gH}{2}=g\left( h-R \right)+2gh=3gh-gR\Rightarrow H=2\left( 3h-R \right)\)

Vậy: độ cao ban đầu của \({{m}_{1}}\) là \(H=2\left( 3h-R \right)\) và tỉ số \(\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}=3\)