Khi ω = ω2, công suất tiêu thụ của đoạn mạch AB có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây?

Cách giải 1: Theo đồ thị ta có  PX max = \(\frac{{{U^2}}}{{{R_x}}}\) = 40W      (1)  

Khi w = w1 < w2 thì P  ymax = \(\frac{{{U^2}}}{{{R_y}}}\) = 60W               (2)

khi w = w3 > w2  thì  Ry = \(\frac{2}{3}\)Rx      (3)  

và  U2 = 40Rx = 60Ry     (4)

Khi w = w2:  Px = Py = 20W

⇒ \(\frac{{{U^2}{R_x}}}{{R_x^2 + {{\left( {{Z_{Lx}} - {Z_{Cx}}} \right)}^2}}}\)  = 20W

\(\Rightarrow \frac{{40R_x^2}}{{R_x^2 + {{\left( {{Z_{Lx}} - {Z_{Cx}}} \right)}^2}}}\)= 20 

⇒  Rx = ZLx – ZCx (vì w2 > w1 nên  ZLx2 > XCx2)

\(\frac{{{U^2}{R_y}}}{{R_y^2 + {{\left( {{Z_{Ly}} - {Z_{Cy}}} \right)}^2}}}\)=  20W  

\(\Rightarrow \frac{{60R_y^2}}{{R_y^2 + {{\left( {{Z_{Ly}} - {Z_{Cy}}} \right)}^2}}}\)= 20

⇒ \(\sqrt 2 \)  Ry = ZCy – ZLy (vì  ZLy2 < ZCy2)

Khi  w = w2 :

\(\begin{array}{l} {P_{AB}} = \frac{{{U^2}\left( {{R_x} + {R_y}} \right)}}{{{{\left( {{R_x} + {R_y}} \right)}^2} + {{\left( {{Z_{Lx}} + {Z_{Ly}} - {Z_{Cx}} - {Z_{Cy}}} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{U^2}\left( {{R_x} + {R_y}} \right)}}{{{{\left( {{R_x} + {R_y}} \right)}^2} + \left[ {{Z_{Lx}} - {Z_{CX}} + {{\left( {{Z_{Ly}} - {Z_{Cy}}} \right)}^2}} \right]}}\\ = \frac{{{U^2}\left( {{R_x} + {R_y}} \right)}}{{{{\left( {{R_x} + {R_y}} \right)}^2} + {{\left( {{R_x} - \sqrt 2 {R_y}} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{U^2}\frac{5}{3}{R_x}}}{{\frac{{25}}{9}R_x^2 + {{\left( {{R_x} - \sqrt 2 \frac{2}{3}{R_x}} \right)}^2}}}\\ = \frac{5}{{14 - 4\sqrt 2 }}\frac{{{U^2}}}{{{R_x}}}\\ = \frac{5}{{14 - 4\sqrt 2 }}.40{\rm{ }} = {\rm{ }}23,97{\rm{ }}W{\rm{ }} = {\rm{ }}24{\rm{ }}W \end{array}\)

Chọn D

Cách giải 2:

Theo đồ thị ta thấy các giá trị cực đại

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{U^2}}}{{{R_1}}} = 40W\\ \frac{{{U^2}}}{{{R_2}}} = 60W \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R_1} = \frac{{{U^2}}}{{40}}\\ {R_2} = \frac{{{U^2}}}{{60}} \end{array} \right.\)   (1)

Mặt khác với \({\omega _2} > {\omega _1};{\omega _3} > {\omega _2}\) thì:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {P_X} = 20W{\rm{ }}; {Z_{L1}} > {Z_{C1}}\\ {P_Y} = 20W{\rm{ }}; {Z_{L2}} < {Z_{C2}} \end{array} \right.\\ P = \frac{{{U^2}}}{R}{\cos ^2}\varphi \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\varphi _1} = {45^0}\\ {\varphi _2} = 54,{376^0} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {Z_{L1}} - {Z_{C1}} = {R_1}\\ {Z_{L2}} - {Z_{C2}} = - \sqrt 2 {R_2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow {Z_{L1}} + {Z_{L2}} - \left( {{Z_{C1}} + {Z_{C2}}} \right) = {R_1} - \sqrt 2 {R_2}\,\,(2) \end{array}\)

Khi 2 mạch nối tiếp thì :

\(\cos \varphi = \frac{{{R_1} + {R_2}}}{{\sqrt {{{\left( {{R_1} + {R_2}} \right)}^2} + {{\left[ {{Z_{L1}} + {Z_{L2}} - \left( {{Z_{C1}} + {Z_{C2}}} \right)} \right]}^2}} }}\)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\(\begin{array}{l} {\cos ^2}\varphi = 0,9988238\\ \Rightarrow P = \frac{{{U^2}}}{{{R_1} + {R_2}}}{\cos ^2}\varphi = 23,972W. \end{array}\)

Chọn D