Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {{z^2} + 5} }}\).

Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 \(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)}  + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)}  + \sqrt {{z^2} + 5} }}\)

Vì \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x + z > 0\\y + z > 0\end{array} \right.\)

\({x^2} + 5 = {x^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{x^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)

\( = x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\)

\({y^2} + 5 = {y^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{y^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)

\( = y\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\)

\({z^2} + 5 = {z^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{z^2} + xz} \right) + \left( {yz + xy} \right)\)

\( = z\left( {x + z} \right) + y\left( {x + z} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\)

Khi đó, ta có:

\(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}  + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}  + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {x + z} \right)} \)

\( \le \left( {\frac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {x + z} \right)}}{2}} \right)\) \( = \frac{{3x + 3y + 2x + 2z}}{2}\)\( = \frac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)

\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {y + z} \right)} \)

\( \le \left( {\frac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {y + z} \right)}}{2}} \right)\)\( = \frac{{3x + 3y + 2y + 2z}}{2}\)\( = \frac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)

\(\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}  = \sqrt {\left( {x + z} \right).\left( {y + z} \right)} \)

\( \le \frac{{\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)}}{2}\)\( = \frac{{x + y + 2z}}{2}\)

\( \Rightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)

\( \le \frac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)\( + \frac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)\( + \frac{{x + y + 2z}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)

\( \le \frac{{9x + 9y + 6z}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)

\( \le \frac{{3.\left( {3x + 3y + 2z} \right)}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}  + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}  + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}{{\left( {3x + 3y + 2z} \right)}} \le \frac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}  + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}  + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }} \ge \frac{2}{3}\)

\( \Leftrightarrow P \ge \frac{2}{3}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + y} \right) = 2\left( {x + z} \right)\\3\left( {x + z} \right) = 2\left( {y + z} \right)\\x + z = y + z\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(Min\,P = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).