YOMEDIA
NONE

Tình GTLN, GTNN của y=2x^2-2x+2/x^2+1

Tình GTLN, GTNN

\(y=\dfrac{2x^2-2x+2}{x^2+1}\)

Q= \(\dfrac{2x^2+4xy+5y^2}{x^2+y^2}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Đỗ Thị Hoài Vy Hoài Vy

    Lời giải:

    Biểu thức 1:

    \(y=\frac{2x^2-2x+2}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)-2x}{x^2+1}\)

    \(\Leftrightarrow y=2-\frac{2x}{x^2+1}\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x^2+1\geq 2\sqrt{x^2}\Leftrightarrow x^2+1\geq 2|x|\)

    \(\Rightarrow (x^2+1)^2\geq 4x^2\)

    \(\Rightarrow \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)^2\leq 1\Leftrightarrow -1\leq \frac{2x}{x^2+1}\leq 1\)

    Từ đây suy ra \(\left\{\begin{matrix} y=2-\frac{2x}{x^2+1}\geq 1\Leftrightarrow x=1\\ y=2-\frac{2x}{x^2+1}\leq 3\Leftrightarrow x=-1\end{matrix}\right.\)

    Vậy \(y_{\min}=1;y_{\max}=3\)

    Biểu thức 2:

    ĐKXĐ: $x,y$ không đồng thời bằng 0

    \(Q=\frac{2x^2+4xy+5y^2}{x^2+y^2}=\frac{(x^2+y^2)+(x+2y)^2}{x^2+y^2}\)

    \(\Leftrightarrow Q=1+\frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\)

    Ta thấy \((x+2y)^2\geq 0\forall x,y\in\mathbb{R}; x^2+y^2>0\) (nằm trong khoảng xác định)

    \(\Rightarrow \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\geq 0\Rightarrow Q\geq 1\)

    Vậy \(Q_{\min}=1\Leftrightarrow x=-2y\) và \(x,y \neq 0\)

    Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxky:

    \((x+2y)^2\leq (x^2+y^2)(1+2^2)=5(x^2+y^2)\); \(x^2+y^2>0\) trong khoảng xác định

    \(\Rightarrow \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\leq \frac{5(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=5\)

    \(\Rightarrow Q\leq 1+5\Leftrightarrow Q\leq 6\Leftrightarrow Q_{\max}=6\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}\Leftrightarrow 2x=y\) và \(x,y\neq 0\)

      bởi Đỗ Thị Hoài Vy Hoài Vy 10/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON