YOMEDIA
NONE

Tìm tất cả các số tự nhiên a, b nguyên tố cùng nhau a+b/a^2−ab+b^2=8/73

Tìm tất cả các số tự nhiên a, b nguyên tố cùng nhau biết rằng: \(\dfrac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\dfrac{8}{73}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Lê Thị Thùy Trang

    Lời giải:

    Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+b=x\\ ab=y\end{matrix}\right.\)

    Giả sử d là ước nguyên tố chung giữa $x,y$

    \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b\vdots p\\ ab\vdots p\Rightarrow a\vdots p \text{ hoặc b}\vdots p\end{matrix}\right.\)

    Nếu \(a\vdots p; a+b\vdots p\Rightarrow b\vdots p\)

    Nếu \(b\vdots p; a+b\vdots p\Rightarrow a\vdots p\)

    Vậy có nghĩa là $p$ là ước chung của $a,b$

    Mà theo đề bài thì $a,b$ nguyên tố cùng nhau nên suy ra $p=1$ (vô lý)

    Vậy $x,y$ không có ước nguyên tố chung hay $x,y$ nguyên tố cùng nhau.

    Khi đó: \(\frac{8}{73}=\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\frac{a+b}{(a+b)^2-3ab}=\frac{x}{x^2-3y}\)

    \(\Leftrightarrow 8(x^2-3y)=73x\) $(*)$

    \(\Leftrightarrow 8x^2-73x=24y\vdots x\)

    Mà \((x,y)=1\Rightarrow 24\vdots x\) (1)

    Cũng từ $(*)$ ta suy ra $73x$ chia hết cho $8$, kéo theo $x$ chia hết cho $8$ (2)

    Từ (1); (2) \(\Rightarrow x\in\left\{8;16;24\right\}\)

    TH1: \(x=8\Rightarrow y=\frac{8x^2-73x}{24}=-3<0\) (vô lý)

    TH2: \(x=16\Rightarrow y=\frac{8x^2-73x}{24}=\frac{110}{3}\not\in\mathbb{N}\)

    TH3: \(x=24\Rightarrow y=\frac{8x^2-73x}{24}=119\)

    Khi đó \(a+b=24; ab=119\). Áp dụng định lý Viete đảo thì $a,b$ là nghiệm của PT: \(X^2-24X+119=0\)

    \(\Leftrightarrow (a,b)=(17,7)\) và hoán vị (thỏa mãn)

      bởi Lê Thị Thùy Trang 29/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF