YOMEDIA
NONE

Tìm Min A=căn(x+y)(y+z)(x+z)*(căny+z/x + cănz+x/y + cănx+y/z)

Cho \(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}.\left(\dfrac{\sqrt{y+z}}{x}+\dfrac{\sqrt{z+x}}{y}+\dfrac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)

Tìm Min A biết x,y,z là 3 số thực dương thay đổi có tổng bằng \(\sqrt{2}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Thảo Đoàn

    Lời giải:

    Ta có:

    \(A=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)

    \(A=\frac{(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x}+\frac{(z+x)\sqrt{(y+z)(y+x)}}{y}+\frac{(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}}{z}\)

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

    \((x+y)(x+z)\geq (x+\sqrt{yz})^2\) và tương tự với những biểu thức khác suy ra:

    \(A\geq \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}+\frac{(z+x)(y+\sqrt{xz})}{y}+\frac{(x+y)(z+\sqrt{xy})}{z}\)

    hay \(A\geq 2(x+y+z)+\frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}+\frac{(z+x)\sqrt{zx}}{y}+\frac{(x+y)\sqrt{xy}}{z}\)

    hay \(A\geq 2(x+y+z)+\underbrace{\frac{yz(y+z)\sqrt{yz}+xz(x+z)\sqrt{xz}+xy(x+y)\sqrt{xy}}{xyz}}_{M}\)

    Đặt \((x,y,z)=(a^2,b^2,c^2)\)

    Khi đó: \(M=\frac{a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(a^2+c^2)}{a^2b^2c^2}\)

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \(a^5b^3+a^3b^5\geq 2\sqrt{a^8b^8}=2a^4b^4\)

    \(b^5c^3+c^5b^3\geq 2b^4c^4\)

    \(c^5a^3+a^5c^3\geq 2c^4a^4\)

    \(\Rightarrow a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(c^2+a^2)\geq 2(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)\) (1)

    (cộng các BĐT theo vế)

    Tiếp tục AM-GM:

    \(a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2; b^4c^4+c^4a^4\geq 2a^2b^2c^4; c^4a^4+a^4b^4\geq 2a^4b^2c^2\)

    \(\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)\) (2)

    Từ\((1); (2)\Rightarrow a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(c^2+a^2)\geq 2a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)\)

    \(\Rightarrow M\geq 2(a^2+b^2+c^2)=2(x+y+z)\)

    Do đó: \(A\geq 2(x+y+z)+M\geq 4(x+y+z)\Leftrightarrow A\geq 4\sqrt{2}\)

    Vậy \(A_{\min}=4\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)

      bởi Thảo Đoàn 16/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON