YOMEDIA
NONE

Tìm Max của biểu thức P =căn(a^2 − 1)/a + căn(b^2 − 1)/b + căn(c^2 − 1)/c

Cho 3 số \(a,b,c\ge1\) thỏa mãn 32abc=18(a+b+c)+27.Tìm Max của biểu thức

\(P=\dfrac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\dfrac{\sqrt{c^2-1}}{c}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Mai

    Dự đoán khi \(a=b=c=\frac{3}{2}\) ta tính được \(P=\sqrt{5}\)

    Ta sẽ chứng minh nó là GTLN của \(P\)

    Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

    \(\sum\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}=\sum\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}\leq\sqrt{(1+1+1)\sum\left(1-\frac{1}{a^2}\right)}=\sqrt{3\sum\left(1-\frac{1}{a^2}\right)}\)

    Vậy ta quay ra chứng minh \(3\sum(1-\frac{1}{a^2})\leq5 \)

    Hay \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq\frac{4}{3}\). Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3u\\ab+ac+bc=3v^2\\abc=w^3\end{matrix}\right.\)

    Vì vậy điều kiện không phụ thuộc vào \(v^2\) và ta cần chứng minh \(9v^4-6uw^3\geq \frac{4}{3}w^6\)

    Nó đủ để nói lên BĐT kia cho một GTNN của \(v^2\)

    Ta đã biết \(a,b,c\) là các nghiệm dương của phương trình

    \((x-a)(x-b)(x-c)=0\)

    \(\Leftrightarrow x^3-3ux^2+3v^2x-w^3=0\)

    \(\Leftrightarrow 3v^2x=-x^3+3ux^2+w^3\)

    Do vậy, trên đường \(y=3v^2x\) và đồ thị của \(y=-x^3+3ux^2+w^3\) có \(3\) điểm chung và \(v^2\) nhận được GTNN

    Khi đường \(y=3v^2x\) là một đường tiếp tuyến với đồ thị \(y=-x^3+3ux^2+w^3\)

    Nó xảy ra trường hợp cho hai biến số bằng nhau

    Tức là, nó đủ để chứng minh BĐT cuối cho \(b=a\) và điều kiện cho \(c=\frac{27+36a}{32a^2-18}\)

    Như vậy, ta cần chứng minh

    \(a^4+2a^2\left(\frac{27+36a}{32a^2-18}\right)^2\geq\frac{4}{3}a^4\left(\frac{27+36a}{32a^2-18}\right)^2\)

    Hay \(a^2(2a-3)^2(8a^2+12a+9)\geq0\). Đúng !

      bởi Nguyễn Mai 22/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON