YOMEDIA
NONE

Hãy tìm các số nguyên dương a, b biết các phương trình sau \({x^2} - 2ax - 3b = 0\) và \({x^2} - 2bx - 3a = 0\) (với x là ẩn) đều có nghiệm nguyên.

Hãy tìm các số nguyên dương a, b biết các phương trình sau \({x^2} - 2ax - 3b = 0\) và \({x^2} - 2bx - 3a = 0\) (với x là ẩn) đều có nghiệm nguyên.

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Anh Nguyễn

    Xét phương trình \({x^2} - 2ax - 3b = 0\) có \({\Delta _1}' = {a^2} + 3b > 0 \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = a \pm \sqrt {{a^2} + 3b} \)

    Xét phương trình \({x^2} - 2bx - 3a = 0\) có \({\Delta _2}' = {b^2} + 3a > 0 \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = b \pm \sqrt {{b^2} + 3a} \)

    Để cả hai phương trình đều có nghiệm nguyên \( \Leftrightarrow {a^2} + 3b\) và \({b^2} + 3a\) đều là số chinh phương.

    Do vai trò của a và b là như nhau, không mất tính tổng quát, ta giả sử \(a \ge b\).

    Ta chứng minh \({a^2} + 3b \le {\left( {a + 2} \right)^2}\).

    Ta có 

    \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{a^2} + 3b < {\left( {a + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 3b < {a^2} + 4a + 4\\ \Leftrightarrow 3b < 4a + 4\end{array}\)

    Luôn đúng do giả sử \(a \ge b\).

    \( \Rightarrow {a^2} < {a^2} + 3b < {\left( {a + 2} \right)^2}\,\,\left( {Do\,\,b > 0} \right)\).

    Mà a, b là các số nguyên dương \( \Rightarrow {a^2} + 3b = {\left( {a + 1} \right)^2}\) là số chính phương.

    \( \Leftrightarrow 3b = 2a + 1 \Rightarrow a = \dfrac{{3b - 1}}{2}\)

    Thay vào \({\Delta _2}'\) ta có :  \({\Delta _2}' = {b^2} + 3.\dfrac{{3b - 1}}{2} \)\(\,= {b^2} + \dfrac{9}{2}b - \dfrac{3}{2} \)\(\,= {b^2} + 2.b.\dfrac{9}{4} + \dfrac{{81}}{{16}} - \dfrac{{105}}{{16}}\)\(\, = {\left( {b + \dfrac{9}{4}} \right)^2} - \dfrac{{105}}{{16}}\) là số chính phương.

    Giả sử \({\left( {b + \dfrac{9}{4}} \right)^2} - \dfrac{{105}}{{16}} = {x^2}\,\,\left( {x \in Z} \right) \)

    \(\Leftrightarrow \left( {b + \dfrac{9}{4} - x} \right)\left( {b + \dfrac{9}{4} + x} \right) = \dfrac{{105}}{{16}}\)

    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{4b - 4x + 9}}{4}.\dfrac{{4b + 4x + 9}}{4} = \dfrac{{105}}{{16}}\\ \Leftrightarrow \left( {4b - 4x + 9} \right)\left( {4b + 4x + 9} \right) = 5.21 = 1.105\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 5\\4b + 4x + 9 = 21\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 21\\4b + 4x + 9 = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 1\\4b + 4x + 9 = 105\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 105\\4b + 4x + 9 = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\x = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 11\\x = 13\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 11\\x =  - 13\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 11\end{array} \right. \\\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = \dfrac{{3b - 1}}{2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 11\\a = \dfrac{{3b - 1}}{2} = 16\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

    \( \Rightarrow \left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\,\,\left( {16;11} \right)} \right\}\)

    Do a, b có vai trò như nhau nên \(\left( {a;b} \right) = \left( {11;16} \right)\) cũng thỏa mãn điều kiện bài toán.

    Vậy các cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {1;1} \right);\,\,\left( {16;11} \right);\,\,\left( {11;16} \right)\).

      bởi Anh Nguyễn 10/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON