YOMEDIA
NONE

Dùng đồng dư thức 7.5^{2n}+12.6^n⋮19

Dùng đồng dư thức :

a) \(7.5^{2n}+12.6^n⋮19\)

b)\(1924^{2003^{2004^n}}+1920⋮124\)

c) \(5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}⋮23\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Phùng Quang Bách

    Lời giải:

    a)

    Ta có \(A=7.5^{2n}+12.6^n=7.25^n+12.6^n\)

    Vì \(25\equiv 6\pmod {19}\Rightarrow 7.25^n\equiv 7.6^n\pmod {19}\)

    Do đó \(A\equiv 7.6^n+12.6^n\equiv 19.6^n\equiv 0\pmod {19}\)

    Ta có đpcm.

    b) Đặt biểu thức là $B$ .

    Dễ thấy \(1924,1920\vdots 4\Rightarrow B\vdots 4(1)\)

    Có \(2003\equiv -7\pmod {30}\Rightarrow 2003^{2004^n}\equiv (-7)^{2004^n}\equiv 7^{2004^n}\pmod {30}\)

    Mặt khác \(7^4\equiv 1\pmod {30}\) , \(2004^n\vdots 4\) nên \(7^{2004^n}\equiv 1\pmod {30}\)

    Từ hai điều trên suy ra \(2003^{2004^n}\equiv 1\pmod {30}\) . Đặt \(2003^{2004^n}=30k+1\)

    Khi đó \(1924^{2003^{2004^n}}+1920=1924^{30k+1}+1924\)

    Vì \(UCLN(1924,31)=1\) nên áp dụng định lý Fermat nhỏ:

    \(1924^{30}\equiv 1\pmod {31}\Rightarrow 1924^{30k}\equiv 1\pmod{31}\)

    \(\Rightarrow 1924^{30k+1}\equiv 1924\pmod {31}\Rightarrow 1924^{30k+1}+1920\equiv 1924+1920\equiv 3844\equiv 0\pmod{31}\)

    Do đó \(B\vdots 31\) \((2)\)

    Từ \((1),(2)\) và \((31,4)=1\Rightarrow B\vdots (31.4=124)\)

      bởi Phùng Quang Bách 26/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF