YOMEDIA
NONE

Chứng minh tứ giác SAOI nội tiếp và AD là tia phân giác của góc BAC

Cho △ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại S. Gọi I là trung điểm BC. Tia OI cắt đường tròn (O) tại D, AD cắt BC tại E.

a) Chứng minh tứ giác SAOI nội tiếp và AD là tia phân giác của góc BAC.

b) Chứng minh SE2=SB.SC

c) Vẽ đường kính DF của đường tròn (O), SF cắt đường tròn (O) tại M (M≠F). Chứng minh SE là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp △EFM.

d) Kẻ AH ⊥ SC tại H, AH cắt BC tại N. Chứng minh M, N, D thẳng hàng.

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Anh Tuấn Nguyễn

    Ôn tập Đường tròn

    a) Do SA là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) nên \(\widehat{SAO}=90^o\)

    Do I là trung điểm của dây cung BC nên theo tính chất đường kính dây cung ta có \(OI\perp BC\Rightarrow\widehat{SIO}=90^o\)

    Xét tứ giác SAOI có \(\widehat{SAO}+\widehat{SIO}=180^o\) mà A và I là hai đỉnh đối nhau nên SAOI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính SO.

    Xét tam giác cân OBC có OI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác. Suy ra \(\widehat{BOD}=\widehat{COD}\Rightarrow sđ\stackrel\frown{BD}=sđ\stackrel\frown{DC}\)

    Xét đường tròn (O) có \(sđ\stackrel\frown{BD}=sđ\stackrel\frown{DC}\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\) (Hai góc nội tiếp chắn các cung có số đo bằng nhau)

    Suy ra AD là phân giác góc BAC.

    b) Xét đường tròn (O) có:

    \(\widehat{SEA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AB}+sđ\stackrel\frown{DC}\right)\) (Góc có đỉnh nằm trong đường tròn)

    \(=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AB}+sđ\stackrel\frown{BD}\right)=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AD}\)

    Lại có \(\widehat{SAE}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AD}\) (Góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung)

    \(\Rightarrow\widehat{SEA}=\widehat{SAE}\) hay tam giác SAE cân tại S.

    Suy ra SA = SE (1)

    Xét tam giác SBA và tam giác SAC có:

    Góc S chung

    \(\widehat{SAB}=\widehat{SCA}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung AB)

    \(\Rightarrow\Delta SBA\sim\Delta SAC\left(g-g\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{SB}{SA}=\dfrac{SA}{SC}\Rightarrow SA^2=SB.SC\) (2)

    Từ (1) và (2) suy ra \(SE^2=SB.SC\)

    c) Xét tam giác SAM và tam giác SFA có:

    Góc S chung

    \(\widehat{SAM}=\widehat{SFA}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung AM)

    \(\Rightarrow\Delta SAM\sim\Delta SFA\left(g-g\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{SA}{SF}=\dfrac{SM}{SA}\Rightarrow SA^2=SM.SF\)

    \(\Rightarrow SM.SF=SE^2\Rightarrow\dfrac{SM}{SE}=\dfrac{SE}{SF}\)

    Xét tam giác SME và tam giác SEF có:

    Góc S chung

    \(\dfrac{SM}{SE}=\dfrac{SE}{SF}\)

    \(\Rightarrow\Delta SME\sim\Delta SEF\left(c-g-c\right)\)

    \(\Rightarrow\widehat{MES}=\widehat{EFM}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{ME}\)

    Suy ra SE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EFM.

    d) Câu d có lẽ em gõ nhầm một chút: Kẻ AH vuông góc SO tại H.

    Em xem lại đề rồi báo lại cô nhé. Nếu sửa đề như cô nói thì ta sẽ chứng minh FN vuông góc SD.

    Sau đó xét tam giác SFD có SI và FN là các đường cao nên N là trực tâm của tam giác

    Vậy thì N thuộc đường cao DM hay M, N, D thẳng hàng.

      bởi Anh Tuấn Nguyễn 30/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF