YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng căn(a/b+c+d) + căn(b/c+d+a) + căn(c/d+a+b) + căn(d/a+b+c)>2

Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}>2\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Nguyễn Văn Đức

    Lời giải:

    Áp dụng BĐT AM-GM dạng ngược dấu (\(ab\leq (\frac{a+b}{2})^2\) )ta có:

    \(\frac{b+c+d}{a}.1\leq \left(\frac{\frac{b+c+d}{a}+1}{2}\right)^2=\frac{(a+b+c+d)^2}{4a^2}\)

    \(\Rightarrow \frac{a}{b+c+d}\geq \frac{4a^2}{(a+b+c+d)^2}\)\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}\)

    Hoàn toàn tương tự:

    \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{b}{c+d+a}}\geq \frac{2b}{a+b+c+d}\\ \sqrt{\frac{c}{d+a+b}}\geq \frac{2c}{a+b+c+d}\\ \sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq \frac{2d}{a+b+c+d}\end{matrix}\right.\)

    Cộng theo vế: \(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}=2\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}=\frac{a+b+c}{d}=1\)

    \(\Leftrightarrow a+b+c+d=0\) (VL do $a,b,c,d$ dương)

    Do đó dấu bằng không xảy ra .

    Hay \(\text{VT}>2\) (đpcm)

      bởi Nguyễn Văn Đức 16/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF