YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng abc^2 + bc/a^2 + ca/b^2 ≥ 1/2 (a+b/c + b+c/a + c+a/b)

cho a,b,c là các số thực tùy ý .cmr \(\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ca}{b^2}\ge\) \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\right)\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Nguyễn Trần Tùng

    Lời giải:

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxky với các số thực \(a,b,c\)

    \(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}\right)\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq \left ( \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \right )^2\)

    \(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}\right)\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )\geq \left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \right )^2\)

    Cộng hai vế trên thu được:

    \(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\right)\left(\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\right)\geq \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)

    Tiếp tục áp dụng Bunhiacopxky:

    \([\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2](1+1)\geq \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)

    Suy ra:

    \(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\right)\left(\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\right)\geq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)

    \(\Leftrightarrow \frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)\)

    Ta có đpcm.

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

      bởi Nguyễn Trần Tùng 28/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF