YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng A=căn(x^2/x^2+y+z) + căn(y^2/y^2+x+z)+căn(z^2/z^2+x+y)

cho x,y,z>0 và \(x^2+y^2+z^2=3\). Chứng minh rằng

\(A=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+y+z}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{y^2+x+z}}+\sqrt{\dfrac{z^2}{z^2+x+y}}\le\sqrt{3}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Hồng Nhung

    Lời giải:

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \((x^2+y+z)(1+y+z)\geq (x+y+z)^2\Rightarrow x^2+y+z\geq \frac{(x+y+z)^2}{1+y+z}\)

    \(\Rightarrow \sqrt{\frac{x^2}{x^2+y+z}}\leq \sqrt{\frac{x^2(1+y+z)}{(x+y+z)^2}}=\frac{x\sqrt{1+y+z}}{x+y+z}\)

    Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

    \(\Rightarrow A\leq \frac{x\sqrt{1+y+z}+y\sqrt{1+x+z}+z\sqrt{x+y+1}}{x+y+z}\)

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \((x\sqrt{y+z+1}+y\sqrt{x+z+1}+z\sqrt{x+y+1})^2\leq (x+y+z)(xy+xz+x+yx+yz+y+zx+zy+z)\)

    \((x\sqrt{y+z+1}+y\sqrt{x+z+1}+z\sqrt{x+y+1})^2\leq (x+y+z)[2(xy+yz+xz)+x+y+z]\) (1)

    Theo BĐT AM-GM:
    \((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)=(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+xz)\geq (xy+yz+xz)^2\)

    \(\Rightarrow x+y+z\geq xy+yz+xz\) (2)

    Từ \((1),(2)\Rightarrow (x\sqrt{y+z+1}+y\sqrt{x+z+1}+z\sqrt{x+y+1})^2\leq (x+y+z).3(x+y+z)=3(x+y+z)^2\)

    \(\Leftrightarrow x\sqrt{y+z+1}+y\sqrt{x+z+1}+z\sqrt{x+y+1}\leq \sqrt{3}(x+y+z)\)

    \(\Rightarrow A\leq \frac{\sqrt{3}(x+y+z)}{x+y+z}=\sqrt{3}\) (đpcm)

    Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)

      bởi Hồng Nhung 16/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON