Chứng minh rằng a+b+c≥α+β+γ
Với \(\alpha\ge\beta\ge\gamma>0\) , \(a\ge\alpha\) , \(ab\ge\alpha\beta\) , \(abc\ge\alpha\beta\gamma\)
Chứng minh rằng \(a+b+c\ge\alpha+\beta+\gamma\)
Trả lời (1)
-
\(VT=a+b+c=\alpha.\frac{a}{\alpha}+\beta.\frac{b}{\beta}+\gamma.\frac{c}{\gamma}\)
Áp dụng phương pháp nhóm ABEL
\(\Rightarrow VT=\left(\alpha-\beta\right)\frac{a}{\alpha}+\left(\beta-\gamma\right)\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}\right)+\gamma\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\alpha\beta}}\left(1\right)\\\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\alpha\beta\gamma}}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có \(ab\ge\alpha\beta\Rightarrow\frac{ab}{\alpha\beta}\ge1\) \(\Rightarrow2\sqrt{\frac{ab}{\alpha\beta}}\ge2\left(2\right)\)
Ta có \(abc\ge\alpha\beta\gamma\Rightarrow\frac{abc}{\alpha\beta\gamma}\ge1\Rightarrow3\sqrt[3]{\frac{abc}{\alpha\beta\gamma}}\ge3\left(4\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}\ge2\)
\(\Rightarrow\left(\beta-\gamma\right)\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}\right)\ge2\left(\beta-\gamma\right)\) ( 5 )
Từ ( 3 ) và ( 4 )
\(\Rightarrow\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\ge3\)
\(\Rightarrow\gamma\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\right)\ge3\gamma\) ( 6 )
Theo đề bài ta có \(a\ge\alpha\Rightarrow\frac{a}{\alpha}\ge1\)\(\Rightarrow\left(\alpha-\beta\right)\frac{a}{\alpha}\ge\alpha-\beta\) ( 7 )
Từ ( 5 ) , ( 6 ) , ( 7 ) cộng theo từng vế
\(\Rightarrow VT=\left(\alpha-\beta\right)\frac{a}{\alpha}+\left(\beta-\gamma\right)\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}\right)+\gamma\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\right)\ge2\left(\beta-\gamma\right)+3\gamma+\alpha-\beta\)
\(\Rightarrow VT\ge2\beta-2\gamma+3\gamma+\alpha-\beta\)
\(\Rightarrow VT\ge\alpha+\beta+\gamma\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\alpha+\beta+\gamma\) ( đpcm )
bởi Nguyễn Mỹ
31/01/2019
Like (0) Báo cáo sai phạm
Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!
Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản
Các câu hỏi mới
-
Cho hàm số bậc nhất y=ax 4 xác định hệ số góc a biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A (5;9)
06/12/2022 | 0 Trả lời
-
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
a) Hãy viết hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền
b) Tính AH biết BH = 4cm; HC = 9cm
08/12/2022 | 1 Trả lời
-
Cho tam giác ABC đường cao Bh và CK cắt nhau tại I vẽ đường tròn tâm O đường kính CI M là trung điểm của AB. chứng minh MH là tiếp tuyến của đường tròn đường kinh CI
11/12/2022 | 0 Trả lời
-
Giải giúp mình bài này ạ.Mình cám ơn nhiều ạ
11/12/2022 | 0 Trả lời
-
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn, kẻ MH vuông góc với AB, BM cắt Ax tại C. a)Tam giác AMB là tam giác gì? Vì sao?Chứng minh: MA2=MB.MCChứng minh: MB.MC=AH.AB
22/12/2022 | 0 Trả lời
-
Mọi người giải giúp em bài 9 ạ
25/12/2022 | 0 Trả lời
-
Cặp số M(-3; 10) có là nghiệm của phương trình 2x+y=4 không?Vì sao. Viết nghiệm tổng quát của phương trình
02/01/2023 | 0 Trả lời
-
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
04/01/2023 | 0 Trả lời
-
Cho tam giác ABC có góc A > 90 độ. Đường tròn nội tiếp tam giác lần lượt tiếp xúc với AB,AC tại M,N. Lấy D,E lần lượt trên tia đối AB,AC sao cho BD=CE=BC. Gọi giao điểm của MN với BE,CD lần lượt lag P,Q. Chứng minh P,Q lần lượt là trung điểm BE,CD
09/01/2023 | 0 Trả lời
-
Giải giúp mình bài này nhé! Cho ABC nhon ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (0;R) Hai đường cao BM và CN cắt nhau tai H, AH cắt BC tai D. a) CMR: tứ giác ANHM nội tiếp và AH vuông góc BC tại D. b) CMR AM .AC = AN. AB Nếu BC = 2MN chứng minh góc ACN = 30⁰ c) Kẻ đường kính BK của (O) CMR AH= KC d) CMR H,I,Q thẳng hàng biết AQ là đường kính của (O) I là trung điểm của BC
28/01/2023 | 0 Trả lời
-
Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O ; 6cm); kẻ hai tiếp tuyến MN; MP với đường tròn (N; P thuộc O) và cắt tuyến MAB của (O) sao cho AB = 6 cm.
a) Chứng minh: OPMN là tứ giác nội tiếp
b) Tính độ dài đoạn thẳng MN biết MO = 10 cm
c) Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB. So sánh góc với góc MON và góc MHN
d) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB của hình tròn tâm O đã cho.
29/01/2023 | 0 Trả lời
-
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
31/01/2023 | 0 Trả lời
-
Cho AABC có BC = 12 cm, B=60, C=40.
a/ Tính độ dài đường cao AH ; b/Tính diện tích AABC.01/02/2023 | 0 Trả lời
-
cho phép thử chọn ngẫu nhiên ra hai quyển sách có 3 quyển toán khác nhau kí hiệu là D,E,F và 2 quyển văn khác nhau kí hiệu M,N .Tìm tất cả xcacs kết quả thuận lợi cho các biến cố sau
a) có cả sách văn và sách toán
b) phải có sách toán
02/02/2023 | 0 Trả lời
-
Chỉ giúp em ạ
19/02/2023 | 0 Trả lời
-
Cho đường tròn tâm O và điểm S ở ngoài đường tròn . Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SD và cát tuyến SBC tới đường tròn ( B ở giữa S và C ).
a) Phân giác của góc BAC cắt dây cung BC ở M . Chứng minh SA = SM .
b) AM cắt đường tròn ở E. Gọi G là giao điểm của OE và BS; F là giao điểm của AD với BC . Chứng minh SA^2 = SG . SF .
c) Biết SB = a ; Tính SF khi BC =
10/03/2023 | 0 Trả lời
-
Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m - 1 = 0.Tìm m để phương trình có hai ngiệm x1;x2 thỏa mãn: (x1 2 - 2mx1 + 3)(x2 2 - 2mx2 -2) = 50
10/03/2023 | 0 Trả lời
-
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: mx^2-4(m-1)x+8 =0
12/03/2023 | 0 Trả lời
-
Cho N là số tự nhiên có các chữ số là số lẻ (N > 9). Chứng minh N không là số chính phương
15/03/2023 | 0 Trả lời
-
Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O ; 6cm); kẻ hai tiếp tuyến MN; MP với đường tròn (N ; P \(\in (O)\)) và cát tuyến MAB của (O) sao cho AB = 6 cm.
a) Chứng minh: OPMN là tứ giác nội tiếp
b) Tính độ dài đoạn thẳng MN biết MO = 10 cm
16/03/2023 | 1 Trả lời
-
Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O ; 6cm); kẻ hai tiếp tuyến MN; MP với đường tròn (N ; P \(\in \) (O)) và cát tuyến MAB của (O) sao cho AB = 6 cm.
a) Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB. So sánh góc \(\widehat{MON} \) với góc \(\widehat{MHN} \)
b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB của hình tròn tâm O đã cho.
17/03/2023 | 1 Trả lời
-
Cho phương trình: x2 – mx – 4 = 0 (m là tham số) (1)
a. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
b. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: \(x_{1}\)2+\(x_{2}\)2=5.
17/03/2023 | 1 Trả lời
-
x4-x2-12=0
20/03/2023 | 0 Trả lời
-
nửa đường tròn (O) đường kính AD, lấy B và C là điểm bất kì trên đường tròn (AB<AC). Điểm M là giao điểm AC và BD, vẽ MN vuông góc AD, lấy điểm I là trung điểm MN. Kẻ tiếp tuyến Dx. Đường thẳng AI cắt Dx tại K, đường thẳng AC cắt Dx tại H. Nối C với K
a.Chứng minh CMND nội tiếp
b.Chứng minh AC.AM=AD.AN
c.Chứng minh CK là tiếp tuyến
22/03/2023 | 0 Trả lời
-
Cho phương trình x2 +(m-3)x-2m+2=0: Tìm giá trị của m để: a) Phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thỏa 2x1+x2=3 b)Phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thỏa /x1-x2/=2
23/03/2023 | 0 Trả lời
