YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng a+1/(a^2+a+1)+(b+a/b^2+b+1)+(c+1/c^2+c+1)

cho a,b,c>0 và abc=1

chứng minh rằng

\(\dfrac{a+1}{a^2+a+1}+\dfrac{b+1}{b^2+b+1}+\dfrac{c+1}{c^2+c+1}\le1\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Trần Quân

    \(BDT\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}}+\dfrac{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}{1+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}+\dfrac{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c^2}}{1+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c^2}}\le2\)

    Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\rightarrow\left(n,h,t\right)\) thì ta có :

    \(\Leftrightarrow\dfrac{n+n^2}{1+n+n^2}+\dfrac{h+h^2}{1+h+h^2}+\dfrac{t+t^2}{1+t+t^2}\le2\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+n+n^2}+\dfrac{1}{1+h+h^2}+\dfrac{1}{1+t+t^2}\ge1\)

    Đặt \(n=\dfrac{yz}{x^2};h=\dfrac{xz}{y^2};t=\dfrac{xy}{z^2}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\)

    Và \(\dfrac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}+\dfrac{y^4}{y^4+xy^2z+x^2z^2}+\dfrac{z^4}{z^4+xyz^2+x^2y^2}\ge1\)

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

    \(VT\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2yz+xy^2z+xyz^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)

    Cần cm \(\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2yz+xy^2z+xyz^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\ge1\)

    \(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge x^4+y^4+z^4+x^2yz+xy^2z+xyz^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

    \(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge x^4+y^4+z^4+x^2yz+xy^2z+xyz^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

    \(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^2yz+xy^2z+xyz^2\left(1\right)\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(x^2y^2+y^2z^2=y^2\left(x^2+z^2\right)\ge2xy^2z\)

    Tương tự rồi cộng theo vế ta có \(\left(1\right)\) đúng

    Khi \(a=b=c=1\)

      bởi Trần Quân 03/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON