YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng 1/a+b+1 + 1/1+b+c + 1/1+c+a

Đề: a,b,c >0 , abc=1, theo cô si

\(CM:\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{1+b+c}+\dfrac{1}{1+c+a}\le1\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Lê Thị Mỹ Trúc

    Lời giải:

    Do $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:

    \((a,b,c)=\left(\frac{x^2}{yz}, \frac{y^2}{xz}, \frac{z^2}{xy}\right)\)

    Khi đó: \(\text{VT}=\frac{1}{\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{xz}+1}+\frac{1}{\frac{y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}+1}+\frac{1}{\frac{x^2}{yz}+\frac{z^2}{xy}+1}\)

    \(\Leftrightarrow \text{VT}=\frac{xyz}{x^3+y^3+xyz}+\frac{xyz}{y^3+z^3+xyz}+\frac{xyz}{z^3+x^3+xyz}\)

    Áp dụng BĐT Cô -si: \(\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+y^3\geq 3xy^2\\ x^3+x^3+y^3\geq 3x^2y\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow 3(x^3+y^3)\geq 3xy(x+y)\Leftrightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)\)

    \(\Rightarrow x^3+y^3+xyz\geq xy(x+y+z)\)

    \(\Rightarrow \frac{xyz}{x^3+y^3+xyz}\leq \frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}\)

    Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:

    \(\text{VT}\leq \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\) (đpcm)

    Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1\)

      bởi Lê Thị Mỹ Trúc 15/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF