YOMEDIA
NONE

Chứng minh a^4+b^4+c^4≥1/27

Cho a,b,c >0 thỏa a + b + c =1.

CMR: \(a^4+b^4+c^4\ge\frac{1}{27}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Doremon Bé

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(Gt\Rightarrow a+b+c=1\Rightarrow3\sqrt[3]{abc}\ge1\)

    \(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\ge\frac{1}{3}\Rightarrow abc\ge\frac{1}{27}\)

    Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(\left\{\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\b^4+c^4\ge2b^2c^2\\c^4+a^4\ge2c^2a^2\end{matrix}\right.\)

    Cộng theo vế rồi thu gọn ta có:

    \(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\left(1\right)\)

    Sử dụng AM-GM lần nữa:

    \(\left\{\begin{matrix}a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2\sqrt{a^2c^2}=2ab^2c\\b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2\\c^2a^2+a^2b^2\ge2a^2bc\end{matrix}\right.\)

    Cộng theo vế rồi rút gọn ta có:

    \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{27}\)\(\left(\left\{\begin{matrix}a+b+c=1\\abc\ge\frac{1}{27}\end{matrix}\right.\right)\left(2\right)\)

    Từ (1) và (2) ta có được ĐPCM

      bởi Doremon Bé 22/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF