YOMEDIA
NONE

Cho hai số dương như sau \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \(x + y \le 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{2}{{xy}} + 4xy.\)

Cho hai số dương như sau \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \(x + y \le 1.\)  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{2}{{xy}} + 4xy.\) 

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Lê Thảo Trang

    Với \(a,b > 0:\) \(\left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {ab} }}\end{array} \right.,\) nhân theo vế hai bất đẳng thức này ta được:

    \(\left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge 4\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\,\,\,\,\left( * \right)\)

    Ta có: \(A = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{2}{{xy}} + 4xy\)\( = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{4xy}} + 4xy} \right) + \dfrac{5}{{4xy}}.\)

    Sử dụng hệ quả (*) ta có:  \(\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}} \ge \dfrac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 4\) (do \(x + y \le 1\) )

    Lại có : \(\dfrac{1}{{4xy}} + 4xy\)\( \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{4xy}}.4xy}  = 2\)

    Vì \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 4xy \le {\left( {x + y} \right)^2} \le 1\) \( \Rightarrow \dfrac{5}{{4xy}} \ge 5.\)

    Suy ra \(A \ge 4 + 2 + 5 = 11.\)

    Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\xy = \dfrac{1}{4}\\x + y \le 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\)

    Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(11\) khi \(x = y = \dfrac{1}{2}.\)

      bởi Nguyễn Lê Thảo Trang 10/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON