YOMEDIA
NONE

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \dfrac{4}{3}\). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\)

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \dfrac{4}{3}\). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \(S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\) 

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Trung Thành

    Ta có: \(S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\).

    Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:

    \(\begin{array}{l} + )\;x + \dfrac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{{9x}}}  = 2.\sqrt {\dfrac{4}{9}}  = \dfrac{4}{3}\\ + )\;y + \dfrac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{4}{{9y}}}  = 2\sqrt {\dfrac{4}{9}}  = \dfrac{4}{3}\end{array}\)

    Chứng minh bất đẳng thức phụ:

    \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng)

    Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \(\dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}}\)

    Mà có \(x + y \le \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{{11}}{{36}}.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}} \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{\dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{11}}{{12}}\).

    \( \Rightarrow S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{{11}}{{12}} = \dfrac{{43}}{{12}}\).

    Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{9x}}\\y = \dfrac{4}{{9y}}\\x + y = \dfrac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}\)

    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(\dfrac{{43}}{{12}}\) khi\(x = y = \dfrac{2}{3}\).

      bởi Nguyễn Trung Thành 10/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON