YOMEDIA
NONE

Cho biết \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\).

Cho biết \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\).  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\). 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Truc Ly

    Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\) nên \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\).

    *) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\)

    \(\begin{array}{l}P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\\P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac - 2ab - 2bc - 2ac - 3ab\\P = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 5ab - 2bc - 2ac\\P = 1 - 5ab - 2bc - 2ac\\P = 1 - \left( {5ab + 2bc + 2ac} \right)\end{array}\)

    \( \Rightarrow P \le 1\) với \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\)

    Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0,\,\,c = 1\\a = c = 0,\,\,b = 1\\b = c = 0,\,\,a = 1\end{array} \right.\)

    Vậy \(P\) đạt giá lớn nhất bằng 1 khi

     \(\left[ \begin{array}{l}a = b = 0,\,\,c = 1\\a = c = 0,\,\,b = 1\\b = c = 0,\,\,a = 1\end{array} \right.\)

    *) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\)

    \(\begin{array}{l}P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\\P = {a^2} - 2ab + {b^2} + {c^2} - ab\\P = {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - ab\end{array}\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(a\) và \(b\) ta có:

    \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)\( \Leftrightarrow \sqrt {ab}  \le \frac{{a + b}}{2}\)

    \( \Leftrightarrow ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow  - ab \ge  - \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)

    \( \Leftrightarrow  - ab \ge  - \frac{{{{\left( {1 - c} \right)}^2}}}{4}\)

    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P = {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - ab \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \frac{{{{\left( {1 - c} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \frac{1}{4}\left( {1 - 2c + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \frac{1}{4}{c^2} + \frac{1}{2}c - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}{c^2} + \frac{1}{2}c - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}\left( {{c^2} + \frac{2}{3}c} \right) - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}\left( {{c^2} + 2.c.\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right) - \frac{1}{{12}} - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}{\left( {c + \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{1}{3} \ge  - \frac{1}{3}\end{array}\)

    Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi

     \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\c + \frac{1}{3} = 0\\a + b + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = \frac{2}{3}\\c =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

    Vậy \(P\) đạt giá nhỏ nhất bằng \( - \frac{1}{3}\) khi \(a = b = \frac{2}{3}\), \(c =  - \frac{1}{3}\).

      bởi Truc Ly 10/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF