YOMEDIA
NONE

Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;0;2} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {1;1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\). Xét điểm \(M\) thay đổi thuộc \(\left( S \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) là bằng:

A. \(\dfrac{1}{2}\)          B. \(\dfrac{3}{4}\)       C. \(\dfrac{{21}}{4}\)             D. \(\dfrac{{19}}{4}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Lan Anh

    Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} {\rm{\;}} + 2\overrightarrow {IB} {\rm{\;}} = \vec 0\) ta có:

    \(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \left( { - a; - b;2 - c} \right) + 2\left( {1 - a;1 - b; - c} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - a + 2 - 2a = 0}\\{ - b + 2 - 2b = 0}\\{2 - c - 2c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \dfrac{2}{3}}\\{b = \dfrac{2}{3}}\\{c = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right)}\end{array}\)

     

    Ta có:

    \(\begin{array}{*{20}{l}}{M{A^2} + 2M{B^2} = {{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + 2{{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)}^2}}\\{ = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IA}  + I{A^2} + 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}}\\{ = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \underbrace {\left( {\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} } \right)}_{\vec 0} = 3M{I^2} + \underbrace {I{A^2} + 2I{B^2}}_{const}}\end{array}\)

    Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = {{\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {2 - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} = \dfrac{8}{3}}\\{I{B^2} = {{\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)}^2} = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I{A^2} + 2I{B^2} = 4\) không đổi \( \Rightarrow {\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\) với \(I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M \in \left( S \right)\).

     

    Ta có \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3} - 1} \right)^2} = 1 > \dfrac{1}{4} \Rightarrow I\) nằm ngoài \(\left( S \right)\) .

     

    Vậy \({\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} = 3M{I_{{{\min }^2}}} + 4 = 3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + 4 = \dfrac{{19}}{4}\).

    Chọn D.

      bởi Lan Anh 11/06/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF