YOMEDIA
NONE

Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB =2a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 300. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB).

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)


  • Gọi M là trung điểm BC, O là giao điểm của AC và BD. Ta có 
    \(AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=a\sqrt{5}\Rightarrow AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2\sqrt{5}a}{3}\)
     Vì SG vuông góc với mặt đáy, nên góc giữa SA và mặt đáy là \(\widehat{SAG} = 30^0\). Xét tam giác vuông SGA, ta có
    \(tan\widehat{SAG}=tan30^0=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{SG}{AG}\Rightarrow SG=\frac{2\sqrt{5}a}{3\sqrt{3}}\)
    \(S_{ABCD}=4a^2\)
    Suy ra \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SG.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{2\sqrt{5}a}{3\sqrt{3}}.4a^2=\frac{8\sqrt{15}a^3}{27}\) (đvtt)
    Hạ GI vuông góc với AB, I thuộc AB. Nối S với I, hạ GK vuông góc với SI, K thuộc SI. Khi đó K là hình chiếu vuông góc của G trên (SAB). 
    Ta có \(GI=\frac{2}{3}MB=\frac{2a}{3}\), do đó \(GK=\frac{GS.GI}{\sqrt{GS^2+GI^2}}=\frac{\sqrt{10}a}{6}\)

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (SAB), ta có \(OH=\frac{3}{2}GK=\frac{\sqrt{10}a}{4}\) . Khi đó AH là hình chiếu của AO lên (SAB) suy ra góc giữa AC và (SAB) là \(\widehat{OAH}\). Xét tam giác vuông OHA, ta có \(sin\ \ \widehat{OAH}=\frac{OH}{OA}=\frac{\sqrt{10}a}{4.\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{5}}{4}\Rightarrow cos \ \widehat{OAH}=\frac{\sqrt{11}}{4}\).
     

      bởi Nguyễn Vân 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF