YOMEDIA
NONE

Hãy tìm số phức \(z\), biết: \(\overline z = {z^3}\).

Hãy tìm số phức \(z\), biết: \(\overline z  = {z^3}\).

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Tuyet Anh

    Ta có \(z\overline z  = {\left| z \right|^2}\) nên từ \(\overline z  = {z^3} \Rightarrow {\left| z \right|^2} = {z^4}\)

    Đặt \(z  = a+ bi\), suy ra:

    \(\begin{array}{l}
    {a^2} + {b^2} = {\left( {a + bi} \right)^4} = {\left[ {{{\left( {a + bi} \right)}^2}} \right]^2}\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right)^2}\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} + {\left( {2abi} \right)^2}\\
    - 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}.2abi + 2{a^2}.2abi\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} - 4{a^2}{b^2}\\
    - 2{a^2}{b^2} - 4a{b^3}bi + 4{a^3}bi\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2}\\
    + 4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right)i\\
    \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} - {a^2} - {b^2}\\
    + 4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right)i = 0\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)\\
    {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} - {a^2} - {b^2} = 0\,\,\left( 2 \right)
    \end{array} \right.
    \end{array}\)

    \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {a^2} = 0\\
    {b^2} = 0\\
    {a^2} - {b^2} = 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    a = 0\\
    b = 0\\
    {a^2} = {b^2}
    \end{array} \right.\)

    +) Nếu \(a = 0\) thay vào \(\left( 2 \right)\) được \({b^4} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2}\left( {{b^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{b^2} = 0\\{b^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b =  \pm 1\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = i\\z =  - i\end{array} \right.\)

    +) Nếu \(b = 0\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được \({a^4} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2}\left( {{a^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} = 0\\{a^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  \pm 1\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z =  \pm 1\end{array} \right.\)

    +) Nếu \({a^2} = {b^2}\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

    \({a^4} + {a^4} - 6{a^4} - {a^2} - {a^2} = 0\)\( \Leftrightarrow  - 4{a^4} - 2{a^2} = 0\)  \( \Leftrightarrow  - 2{a^2}\left( {2{a^2} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0\)

    (vì \(2{a^2} + 1 > 0,\forall a\) )

    \( \Rightarrow b = a = 0 \Rightarrow z = 0\)

    Vậy các số phức cần tìm là \(z = 0,z =  \pm 1,z =  \pm i\).

      bởi Tuyet Anh 25/05/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF