YOMEDIA
NONE

Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2\sqrt 3 ,\,\,BB' = 2\).Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng là trung điểm của \(A'B',\,\,A'C',\,\,BC\). Nếu gọi \(\alpha \) là độ lớn của góc của hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ACC'} \right)\) thì \(\cos \alpha \) bằng bao nhiêu?

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Quang Thanh Tú

    Ta có: \(\left( {MNP} \right) \equiv \left( {MNCP} \right)\) (do \(CP//B'C'//MN\)) và \(\left( {ACC'} \right) \equiv \left( {ACC'A'} \right)\) \( \Rightarrow \alpha  = \widehat {\left( {\left( {MNP} \right);\left( {ACC'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {\left( {MNCP} \right);\left( {ACC'A'} \right)} \right)}\)

    Dựng \(PE \bot AC,\,\,MF \bot A'C',\,\,\left( {E \in AC;\,F \in A'C'} \right)\) \( \Rightarrow CE = FN = \dfrac{1}{4}AC\) và \(P,E,F,M\) đồng phẳng

    Ta có:  \(PE \bot AC,\,\,PE \bot AA' \Rightarrow PE \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \left( {PEFM} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right)\)

    \( \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của hình bình hành lên \(\left( {ACC'A'} \right)\) là hình bình hành \(ECNF\)\( \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{{S_{ECNF}}}}{{{S_{MNCP}}}}\)

    Ta có: \({S_{ECNF}} = EC.CC' = \dfrac{1}{4}.AC.CC' = \dfrac{1}{4}.2\sqrt 3 .2 = \sqrt 3 \); 

    \(\Delta A'B'C'\) đều  \( \Rightarrow C'M = 2\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\)

    \(\Delta CC'M\) vuông tại C’  \( \Rightarrow CM = \sqrt {CC{'^2} + C'{M^2}}  = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \)

    \(\Delta CC'N\) vuông tại C’  \( \Rightarrow CN = \sqrt {CC{'^2} + C'{N^2}}  = \sqrt {{2^2} + {{\sqrt 3 }^2}}  = \sqrt 7 \)

    \(\Delta MNC\) có: \(MN = \sqrt 3 ,\,\,CM = \sqrt {13} ,\,\,CN = \sqrt 7 \), có diện tích là: \({S_{MNC}} = \sqrt {p.\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

    \( = \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  + \sqrt {13} }}{2}.\left( {\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  + \sqrt {13} }}{2} - \sqrt 3 } \right)\left( {\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  + \sqrt {13} }}{2} - \sqrt 7 } \right)\left( {\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  + \sqrt {13} }}{2} - \sqrt {13} } \right)} \)

    \( = \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  + \sqrt {13} }}{2}.\dfrac{{\sqrt 7  + \sqrt {13}  - \sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt {13}  - \sqrt 7 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  - \sqrt {13} }}{2}}  = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{4}\) \( \Rightarrow {S_{MNCP}} = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}\)

    \( \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{{S_{ECNF}}}}{{{S_{MNCP}}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{2}{5}\).

      bởi Nguyễn Quang Thanh Tú 07/05/2022
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON