Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x-2y+2z-5=0.\) Gọi (P) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và tạo với \(\left( \alpha \right)\) một góc nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng \(ax+by+cx+d=0\left( a,b,c,d\in \mathbb{Z};a,b,c,d<5 \right).\) Khi đó tích abcd bằng

\(\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{n}=\left( 1;-2;2 \right).\)

\(\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \[2x-y-1=0;y-z-1=0.\)

(P) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) nên phương trình (P) có dạng

\(m\left( 2x-y-1 \right)+n\left( y-z-1 \right)=0;\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}}>0 \right).\)

\(\Rightarrow 2mx+\left( n-m \right)y-nz-m-n=0\)

\(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha  \right) \right)=\frac{\left| 4m-4n \right|}{3\sqrt{5{{m}^{2}}-2mn+2{{n}^{2}}}}.\)

+ Với n = 0: \(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha  \right) \right)=\frac{\left| 4m \right|}{3\sqrt{5{{m}^{2}}}}=\frac{4}{3\sqrt{5}}\)

+ Với \(n\ne 0:\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha  \right) \right)=\frac{4\left| \frac{m}{n}-1 \right|}{\sqrt[3]{5{{\left( \frac{m}{n} \right)}^{2}}-2\frac{m}{n}+2}}\)

Đặt \(t=\frac{m}{n},\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha  \right) \right)=\frac{4\left| t-1 \right|}{3\sqrt{5{{t}^{2}}-2t+2}}=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{5{{t}^{2}}-2t+2}}\)

Xét \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{5{{t}^{2}}-2t+2}\)

\(f'\left( t \right) = \frac{{8{t^2} - 6t - 2}}{{{{\left( {5{t^2} - 2t + 2} \right)}^2}}};f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - \frac{1}{4} \end{array} \right.\)

(P) là mặt phẳng tạo với \[\left( \alpha  \right)\) một góc nhỏ nhất nên \(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha  \right) \right)=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{4\sqrt{5}}{9}\)

Khi đó \(t=-\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{m}{n}=-\frac{1}{4}.\)

Chọn m=1;n=-4 ta được phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):2x-5y+4z+3=0.\)

Khi đó \(a=2;b=-5;c=4;d=3\Rightarrow abcd=-120.\)