Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ và thoả mãn $f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x;\forall x\in {{\mathbb{R}}^{*}}.$ Tính tích phân $\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}.$

Ta có:

$f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x$, chia cả 2 vế cho x ta được $\frac{f\left( x \right)}{x}+2\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}=3$

Lấy tích phân 2 vế

$\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\left[ \frac{f\left( x \right)}{x}+2\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x} \right]dx}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{3dx}$

$\Leftrightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx+2\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}dx}=3x\left| \begin{align} & 2 \\ & \frac{1}{2} \\ \end{align} \right.=\frac{9}{2}}$

Xét $\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}dx}$: Đặt $\frac{1}{x}=t\Rightarrow -\frac{1}{{{x}^{2}}}dx=dt\Rightarrow dx=-\frac{dt}{{{t}^{2}}}.$

Đổi cận $\left\{ \begin{align} & x=\frac{1}{2}\Rightarrow t=2 \\ & x=2\Rightarrow t=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right..$

Khi đó $\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}dx}=-\int\limits_{2}^{\frac{1}{2}}{\frac{t.f\left( t \right)}{{{t}^{2}}}dt}\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}dx}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( t \right)}{t}dt=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx.}}$

Thay vào tích phân ban đầu ta được

$3\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}=\frac{9}{2}\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}=\frac{3}{2}.$