Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị như sau: ​ Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình \(f\left( g\left( x \right) \right)=0\) và \(g\left( f\left( x \right) \right)=0\) là

Quan sát đồ thị ta thấy

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {x_1}\left( { - 3 < {x_1} < - 2} \right)\\ x = - 1\\ x = {x_2}\left( {1 < {x_2} < 2} \right)\\ x = {x_3}\left( {2 < {x_3} < 3} \right)\\ x = {x_4}\left( {4 < {x_4} < 5} \right) \end{array} \right.\)

Do đó \(f\left( {g\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} g\left( x \right) = {x_1}\left( 1 \right)\\ g\left( x \right) = - 1\left( 2 \right)\\ g\left( x \right) = {x_2}\left( 3 \right)\\ g\left( x \right) = {x_3}\left( 4 \right)\\ g\left( x \right) = {x_4}\left( 5 \right) \end{array} \right.\)

Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm; phương trình (2) có đúng 3 nghiệm; phương trình (3) có đúng 3 nghiệm; phương trình (4) có đúng 3 nghiệm; phương trình (5) có đúng 1 nghiệm. Tất cả các nghiệm trên đều phân biệt nên phương trình f(g(x)) = 0 có đúng 11 nghiệm.

Quan sát đồ thị ta thấy \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {x_5}\left( { - 2 < {x_5} < - 1} \right)\\ x = {x_6}\left( {0 < {x_6} < 1} \right)\\ x = 3 \end{array} \right.\)

Do đó \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = {x_5}\left( 6 \right)\\ f\left( x \right) = {x_6}\left( 7 \right)\\ f\left( x \right) = 3\left( 8 \right) \end{array} \right.\)

Phương trình (6) có 5 nghiệm; phương trình (7) có 5 nghiệm; phương trình (8) có 1 nghiệm. Tất cả các nghiệm này đều phân biệt nên phương trình (f(g(x)) = 0 có đúng 11 nghiệm.

Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình f(g(x)) = 0 và g(f(x)) = 0 là 22 nghiệm.