Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 3}}{1}\) , điểm\(A\left( {3;2;1} \right).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d.

Ta có đường thẳng d đi qua M(0;0;3), VTCP \(\overrightarrow a = \left( {2;4;1} \right)\)  

Gọi \(\left ( \alpha \right )\) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.

\(\left( \alpha \right) \bot \left( d \right)\) nên \(\left ( \alpha \right )\) nhận \(\overrightarrow {{n_a}} = \left( {2;4;1} \right)\)  làm VTPT.

Phương trình \(\left( \alpha \right):2\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x + 4y + z - 15 = 0\)   

Phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 4t\\ z = - 3 + t \end{array} \right.\)   

Thế vào phương trình \(\left( \alpha \right):2\left( {2t} \right) + 4\left( {4t} \right) + \left( { - 3 + t} \right) - 15 = 0 \Rightarrow t = \frac{6}{7}\) 

Vậy \(d \cap \left( \alpha \right)\) tại  \(B\left( {\frac{{12}}{7};\frac{{24}}{7};\frac{{ - 15}}{7}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - \frac{9}{7};\frac{{10}}{7}; - \frac{{22}}{7}} \right).\)

Vậy phương trình đường thẳng  qua A, cắt vuông góc d là:

\(AB:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 9t\\ y = 2 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\)