Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác OAB có tọa độ các đỉnh là O(0;0;0), A(4;-2;1), B(2;4;-3). Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh O của tam giác OAB

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;6; - 4} \right)\).

Đường thẳng AB: 

\(\left\{ \begin{array}{l} Qua\,\,A(4; - 2;1)\\ VTCP\,\,\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 2} \right) \end{array} \right.\) 

Nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 4 - t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 - 2t \end{array} \right.\) 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên AB

\(\begin{array}{l} \Rightarrow H \in AB \Leftrightarrow H(4 - t; - 2 + 3t;1 - 2t)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OH} = (4 - t; - 2 + 3t;1 - 2t) \end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{OH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {AB}  = 0}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow  - 2(4 - t) + 6( - 2 + 3t) - 4(1 - 2t) = 0\\
 \Leftrightarrow t = \frac{6}{7}
\end{array}
\end{array}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{22}}{7};\frac{4}{7}; - \frac{5}{7}} \right)\)

Đường cao kẻ từ đỉnh O là đường thẳng OH:  

\(\left\{ \begin{array}{l} Qua\,O(0;0;0)\\ VTCP\,\,\overrightarrow u = 7.\overrightarrow {OH} = \left( {22;4; - 5} \right) \end{array} \right.\)

Nên có phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l} x = 22t\\ y = 4t\\ z = - 5t \end{array} \right.\)