Tính thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox

Xét phương trình \(\frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{{{x^2}}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Như vậy, thể tích cần tìm sẽ được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|} dx\)

\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)}^2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right|} dx = \pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx}  - \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^4}}}{4}} dx} \right|\)

\(\pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx}  - \left. {\frac{{{x^5}}}{{20}}} \right|_{ - 1}^1} \right| = \pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx}  - \frac{1}{{10}}} \right|\)

\(V = \pi \left| {I - \frac{1}{{10}}} \right|\) với \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx} \)

Tính I: Đặt \(x = \tan t,t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)

\(dx = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}}dt = (1 + {\tan ^2}t)dt\)

Ta có thể viết I lại dưới dạng:

\(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}t}}{{{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)}^2}}}dt}  = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt}  = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2t)dt} \)

\( \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}V = \pi \left| {\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{10}}} \right| = \frac{{{\pi ^2}}}{4} + \frac{{2\pi }}{5}.\)