Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: x - 2y + m = 0 cắt đồ thị hàm số y = (x-3)/(x+1) tại hai điểm phân biệt

Ta có phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{x - 3}}{{x + 1}} = \frac{{x + m}}{2}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 6 + m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\)

Đường thẳng \(\left( d \right):x - 2y + m = 0\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 6m - 23 > 0}\\ {{{\left( { - 1} \right)}^2} + \left( {m - 1} \right)\left( { - 1} \right) + 6 + m \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 3 - 4\sqrt 2 \vee m > 3 + 4\sqrt 2 }\\ {\forall m} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow m < \frac{{3 - 4\sqrt 2 }}{2}\) hoặc \(m > \frac{{3 + 4\sqrt 2 }}{2}\).