Tìm M thuộc đồ thị hàm số y=(3x-1)/(x-3) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng: \({\Delta _1}:x - 3 = 0\) và tiệm cận ngang \({\Delta _2}:y - 3 = 0.\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) với \({y_0} = \frac{{3{x_0} - 1}}{{{x_0} - 3}}\,\,\,\left( {{x_0} \ne 3} \right)\). Ta có:

\(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = 2.d\left( {M,{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 3} \right| = 2.\left| {{y_0} - 3} \right|\)

\(\Leftrightarrow \left| {{x_0} - 3} \right| = 2.\left| {\frac{{3{x_0} - 1}}{{{x_0} - 3}} - 3} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = - 1\\ {x_0} = 7 \end{array} \right.\)

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là \({M_1}\left( { - 1;1} \right)\) và \({M_2}\left( {7;5} \right).\)