Tìm k để diện tích của hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên biết (H) giới hạn bởi các đường y=|x^2-1| và y=k, 0

Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = 1 - {x^2},y = k,x = 0\) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi: \(y = 1 - {x^2},y = {x^2} - 1,y = k,x > 0.\)

\(\int\limits_0^{\sqrt {1 - k} } {\left( {1 - {x^2} - k} \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_{\sqrt {1 - k} }^1 {\left( {k - 1 + {x^2}} \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_1^{\sqrt {1 + k} } {\left( {k - {x^2} + 1} \right)} {\rm{d}}x.\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k} - \frac{1}{3}\left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k} \\ = \frac{1}{3} - \left( {1 - k} \right) - \frac{1}{3}\left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k} + \left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k} + \left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k} - \frac{1}{3}\left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k} - \left( {1 + k} \right) + \frac{1}{3} \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{3}\left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k} = \frac{4}{3}\)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {1 + k} } \right)^3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1.\)