Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành biết đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y=4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y=f’(x) cho bởi hình vẽ dưới đây

Đồ thị hàm số y = f’(x) là đồ thị hàm số bậc hai, nhận Oy làm trục đối xứng nên $f'(x) = a{x^2} + c$ 

Đồ thị hàm số y = f’(x) đi qua (0;–3); (–1;0) và (1;0) nên c = –3; a = 3.

Khi đó $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} dx = {x^3} - 3x + C$.

Điều kiện đồ thị hàm số y=f(x) tiếp xúc với đường thẳng y=x  là:  

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right) = 4}\\ {f'\left( x \right) = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 3x + C = 4}\\ {3\left( {{x^2} - 1} \right) = 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {C = 2} \end{array}} \right.$

(Do x<0) suy ra $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\left( C \right)$

Cho (C) cắt Ox tại các điểm có hoành độ $x = - 2;x = 1$ 

Khi đó $S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)} \right|dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)} dx = \frac{{27}}{4}} .$