Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M vị trí M cách đường OE 125m và cách đường Ox 1km người ta muốn làm một đoạn đường thẳng AB đi qua vị trí M

Chọn hệ trục tọa độ là Oxy với OE nằm trên Oy. Khi đó tọa độ \(M\left( {\frac{1}{8};1} \right)\)

Gọi \(B\left( {m;0} \right),A\left( {0;n} \right)\,\,\left( {m,n > 0} \right)\)

Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng AB là: \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\)

Do đường thẳng AB đi qua \(M\left( {\frac{1}{8};1} \right)\) nên \(\frac{1}{{8m}} + \frac{1}{n} = 1 \Rightarrow \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{{8m}} = \frac{{8m - 1}}{{8m}} \Rightarrow n = \frac{{8m}}{{8m - 1}}\)Ta có: \(A{B^2} = {m^2} + {n^2} = {m^2} + {\left( {\frac{{8m}}{{8m - 1}}} \right)^2}\)

Xét hàm số \(f(m) = {m^2} + {\left( {\frac{{8m}}{{8m - 1}}} \right)^2}\) với  m > 0 

\(f'(m) = 2m - \frac{{128m}}{{{{(8m - 1)}^3}}} = 2m\left( {1 - \frac{{64}}{{{{(8m - 1)}^3}}}} \right)\)\(f'(m) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{8}\,(do\,m > 0)\)

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá tị nhỏ nhất tại  \(m=\frac{5}{8}\)

Vậy độ dài ngắn nhất đoạn đường AB là:  \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{8}\,(km).\)