Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có thể tích là 64 pi mét khối tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất

Gọi h là chiều cao của hình trụ, thể tích của khối trụ là 

\(V = \pi {r^2}h = 64\pi \Rightarrow {r^2}h = 64 \Leftrightarrow h = \frac{{64}}{{{r^2}}}\) 

Diện tích toàn phần của khối trụ là:

\({S_{tp}} = 2\pi r(r + h) = 2\pi r\left( {r + \frac{{64}}{{{r^2}}}} \right) = 2\pi \left( {{r^2} + \frac{{64}}{r}} \right).\)  

Xét hàm số  \(f(r) = {r^2} + \frac{{64}}{r},r > 0.\)

Ta có: \(f'(r) = 2r - \frac{{64}}{{{r^2}}},\,f'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{32}}.\)  

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(r) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(r = \sqrt[3]{{32}}.\) 

Vậy với \(r = \sqrt[3]{{32}}\) thì hình trụ được sản xuất ra ít tốn nhiên liệu nhất.